Giải SGK Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 6 trang 55

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 6 trang 55

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2: Điều kiện xác định của x^–3 là:

A. x∈ ℝ.

B. x ≥ 0.

C. x ≠ 0.

D. x > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $x^{–3}=\frac{1}{x^3}$

Khi đó hàm số $x^{–3}=\frac{1}{x^3}$ xác định ⇔ x ≠ 0.

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Điều kiện xác định của $x^{\frac{3}{5}}$ là:

A. x∈ ℝ.

B. x ≥ 0.

C. x ≠ 0.

D. x > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{x^3}$

Khi đó hàm số $x^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{x^3}$ xác định với mọi x∈ ℝ.

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2: Tập xác định của hàm số y = log_0,5(2x – x²) là:

A. (–∞; 0) ∪ (2; +∞).

B. ℝ \{0; 2}.

C. [0; 2].

D. (0; 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = log_0,5(2x – x²) xác định ⇔ 2x – x² > 0

⇔ x² – 2x < 0 ⇔ x(x – 2) < 0

⇔ 0 < x < 2.

Vậy tập xác định của y = log_0,5(2x – x²) là (0; 2).

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. y = (0,5)^x.

B. $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x.$

C. $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x.$

D. $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì 0 < 0,5 < 1 nên hàm số y = (0,5)^x nghịch biến trên ℝ;

Vì $0<\frac{2}{3}<1$nên hàm số $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ;

Vì $\sqrt{2}>1$ nên hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ đồng biến trên ℝ;

Vì $0<\frac{e}{\pi }<1$nên hàm số $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ.

Vậy ta chọn đáp án C.

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. y = log₃x.

B. $y={\log }_{\sqrt{3}}x$.

C. $y={\log }_{\frac{1}{e}}x$.

D. y = log_πx.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = log_ax nghịch biến trên tập xác định của nó khi 0 < a < 1.

Mà $3>\mathrm{1,}\sqrt{3}>\mathrm{1,}\pi >\mathrm{1,0}<\frac{1}{e}<1$

Suy ra hàm số $y={\log }_{\frac{1}{e}}x$nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2: Nếu 3^x = 5 thì 3^2x bằng:

A. 15.

B. 125.

C. 10.

D. 25.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3^2x = (3^x)² = 5² = 25.

Bài 7 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho $A=4^{{\log }_{2}3}.$ Khi đó giá trị của A bằng:

A. 9.

B. 6.

C. $\sqrt{3}.$

D. 81.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A=4^{{\log }_{2}3}=2^{2{\log }_{2}3}=2^{{\log }_2{3}^2}=3^2=9.$

Vậy ta chọn đáp án A.

Bài 8 trang 56 Toán 11 Tập 2: Nếu log_ab = 3 thì log_ab² bằng:

A. 9.

B. 5.

C. 6.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: log_ab² = 2log_ab = 2 . 3 = 6.

Bài 9 trang 56 Toán 11 Tập 2: Nghiệm của phương trình 3^{2x – 5} = 27 là:

A. 1.

B. 4.

C. 6.

D. 7.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 3^{2x – 5} = 27 ⇔3^{2x – 5} = 3³ ⇔ 2x – 5 = 3 ⇔ x = 4.

Bài 10 trang 56 Toán 11 Tập 2: Nghiệm của phương trình log_0,5(2 – x) = –1 là:

A. 0.

B. 2,5.

C. 1,5.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có log_0,5(2 – x) = –1 ⇔ 2 – x = 0,5^–1 ⇔ 2 – x = 2 ⇔ x = 0.

Bài 11 trang 56 Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình (0,2)^x > 1 là:

A. (–∞; 0,2).

B. (0,2; +∞).

C. (0; +∞).

D. (–∞; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có (0,2)^x > 1 ⇔ x < log_0,21 ⇔ x < 0.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–∞; 0).

Bài 12 trang 57 Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}x>-2$ là:

A. (–∞; 16).

B. (16; +∞).

C. (0; 16).

D. (–∞; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\log }_{\frac{1}{4}}x>-2\iff 0<x<{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}\iff 0<x<16$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (0; 16).

Bài 13 trang 57 Toán 11 Tập 2: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị ba hàm số mũ y = a^x, y = b^x, y = c^x được cho bởi Hình 14.

Kết luận nào sau đây là đúng đối với ba số a, b, c?

A. c < a < b.

B. c < b < a.

C. a < b < c.

D. b < c < a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Từ các đồ thị hàm số trên Hình 14 ta thấy:

⦁ Hàm số y = c^x nghịch biến trên ℝ nên 0 < c < 1;

⦁ Hai hàm số y = a^x và y = b^x đồng biến trên ℝ nên a > 1 và b > 1.

Thay cùng giá trị của x = x₀ (với x₀ > 0) vào hai hàm số y = a^x và y = b^x ta thấy nên a < b

Suy ra c < a < b.

Bài 14 trang 57 Toán 11 Tập 2: Cho ba thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị ba hàm số lôgarit y = log_ax, y = log_bx, y = log_cx được cho bởi Hình 15. Kết luận nào sau đây là đúng với ba số a, b, c?

A. c < a < b.

B. c < b < a.

C. a < b < c.

D. b < c < a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Từ các đồ thị hàm số trên Hình 15 ta thấy:

⦁ Hàm số y = log_ax đồng biến trên (0; +∞) nên a > 1;

⦁ Hai hàm số y = log_bx và y = log_cx nghịch biến trên (0; +∞) nên 0 < b < 1; 0 < c < 1.

Thay cùng giá trị của x = x₀ (với x₀ ∈ (0; +∞)) vào hai hàm số ta thấy log_bx₀ > log_cx₀

Mà 0 < b < 1; 0 < c < 1 nên b < c.

Suy ra b < c < a.

Bài 15 trang 57 Toán 11 Tập 2: Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a:

a) $A=\sqrt[3]{5\sqrt{\frac{1}{5}}}$với a = 5. b) $B=\frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{4}}$ với $a=\sqrt{2}.$

Lời giải:

a) Ta có: $A=\sqrt[3]{5\sqrt{\frac{1}{5}}}=\sqrt[3]{5\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{5\cdot 5^{-\frac{1}{2}}}$$=\sqrt[3]{5^{\frac{1}{2}}}=5^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{6}}$

Vậy $A=a^{\frac{1}{6}}.$

b) $a=\sqrt{2}\Rightarrow a^2=2$

Ta có: $B=\frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2^2\cdot 2^{\frac{1}{5}}}{4^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac{11}{5}}}{2^{\frac{2}{3}}}=2^{\frac{23}{15}}={\left(a^2\right)}^{\frac{23}{15}}=a^{\frac{46}{15}}$

Vậy $B=a^{\frac{46}{15}}.$

Bài 16 trang 57 Toán 11 Tập 2: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn biểu thức sau:

$A=\frac{x^{\frac{5}{4}}\cdot y+x\cdot y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}};$ $B={\left(\sqrt[7]{\frac{x}{y}\sqrt[5]{\frac{y}{x}}}\right)}^{\frac{35}{4}}.$

Lời giải:

Ta có:

$A=\frac{x^{\frac{5}{4}}\cdot y+x\cdot y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}=\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdot x\cdot y+x\cdot y\cdot y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}=\frac{xy\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}=xy;$

Bài 17 trang 57 Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) $y=\frac{5}{2^x-3};$ b) $y=\sqrt{25-5^x};$

c) $y=\frac{x}{1-\ln x};$ d) $y=\sqrt{1-{\log }_{3}x}.$

Lời giải:

a) Hàm số $y=\frac{5}{2^x-3}$ xác định ⇔ 2^x – 3 ≠ 0 ⇔2^x ≠ 3 ⇔ x ≠ log₂3.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{5}{2^x-3}$là D = ℝ \ {log₂3}.

b) Hàm số $y=\sqrt{25-5^x}$ xác định ⇔ 25 – 5^x ≥ 0 ⇔5^x ≤ 25 ⇔5^x ≤ 5² ⇔ x ≤ 2

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{25-5^x}$là D = (–∞; 2].

c) Hàm số $y=\frac{x}{1-\ln x}$ xác định

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{x}{1-\ln x}$là D = (0; +∞) \ {e}.

d) Hàm số $y=\sqrt{1-{\log }_{3}x}$ xác định

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-{\log }_{3}x}$là D = (0; 3].

Bài 18 trang 58 Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, a ≠ 1 và $a^{\frac{3}{5}}=b.$

a) Viết $a^6;a^{3}b;\frac{a^9}{b^9}$ theo lũy thừa cơ số b.

b) Tính: ${\log }_{a}b;{\log }_a\left(a^2{b}^5\right);{\log }_{\sqrt[5]{a}}\left(\frac{a}{b}\right).$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ ${\text{a}}^6={\left(a^{\frac{3}{5}}\right)}^{10}=b^{10};$

⦁ ${\text{a}}^{3}b={\left(a^{\frac{3}{5}}\right)}^5\cdot b=b^5\cdot b=b^6;$

⦁ $\frac{a^9}{b^9}=\frac{{\left(a^{\frac{3}{5}}\right)}^{15}}{b^9}=\frac{b^{15}}{b^9}=b^6.$

b) Ta có:

⦁ $b=a^{\frac{3}{5}}\Rightarrow {\log }_{a}b={\log }_a{a}^{\frac{3}{5}}=\frac{3}{5};$

⦁ ${\log }_a\left(a^2{b}^5\right)={\log }_a{a}^2+{\log }_a{b}^5$$=2{\log }_{a}a+5{\log }_{a}b=2+5\cdot \frac{3}{5}=2+3=5;$

⦁ ${\log }_{\sqrt[5]{a}}\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{\sqrt[5]{a}}a-{\log }_{\sqrt[5]{a}}b$$=5{\log }_{a}a-5{\log }_{a}b=5-5\cdot \frac{3}{5}=5-3=2.$

Bài 19 trang 58 Toán 11 Tập 2: Giải mỗi phương trình sau:

a) $3^{x^2-4x+5}=9;$ b) 0,5^2x–4 = 4;

c) log₃(2x – 1) = 3; d) logx + log(x – 3) = 1.

Lời giải:

a) $3^{x^2-4x+5}=9\iff 3^{x^2-4x+5}=3^2$$\iff x^2-4\text{x}+5=2\iff x^2-4\text{x}+3=0$

Vậy phương trình có nghiệm là x ∈ {1; 3}.

b) 0,5^2x–4 = 4 ⇔ 2x – 4 = log_0,54

$\iff 2x–4=lo{g}_{2^{-1}}{2}^2\iff 2x–4=-2lo{g}_{2}2$

⇔ 2x – 4 = –2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

c) log₃(2x – 1) = 3

⇔ 2x – 1 = 3³ ⇔ 2x – 1 = 27

⇔ 2x = 28 ⇔ x = 14.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 14.

d) logx + log(x – 3) = 1

Điều kiện xác định là tức là x > 3. Ta có:

logx + log(x – 3) = 1

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.

Bài 20 trang 58 Toán 11 Tập 2: Giải mỗi bất phương trình sau:

a)5^x < 0,125; b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x+1}\ge 3;$

c) log_0,3x > 0; d) ln(x + 4) > ln(2x – 3).

Lời giải:

a) 5^x < 0,125⇔ x < log₅0,125

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (−∞; log₅0,125).

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x+1}\ge 3$

⇔ 2x + 1 ≤ –1

⇔ 2x ≤ –2

⇔ x ≤ –1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (–∞; –1].

c) log_0,3x > 0⇔0 < x < 0,3⁰ ⇔0 < x < 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (0; 1).

d) ln(x + 4) > ln(2x – 3)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(\frac{3}{2};7\right).$

Bài 21 trang 58 Toán 11 Tập 2: Trong một trận động đất, năng lượng giải tỏa E (đơn vị: Jun, kí hiệu J) tại tâm địa chấn ở M độ Richter được xác định xấp xỉ bởi công thức: logE ≈ 11,4 + 1,5M.

(Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021).

a) Tính xấp xỉ năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter.

b) Năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter gấp khoảng bao nhiêu lần năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter?

Lời giải:

a) Thay M = 5 vào công thứclogE ≈ 11,4 + 1,5M, ta cónăng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter là:

logE ≈ 11,4 + 1,5 . 5 =18,9

Suy ra E ≈ 10^18,9 (J)

Vậynăng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter là E ≈ 10^18,9 J.

b) Thay M = 8 vào công thứclogE ≈ 11,4 + 1,5M, ta cónăng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter là:

logE ≈ 11,4 + 1,5 . 8 =23,4

Suy ra E ≈ 10^23,4 (J)

Do đó năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter gấp khoảng $\frac{{10}^{\mathrm{23,4}}}{{10}^{\mathrm{18,9}}}\approx 31623$ lần năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter.

Bài 22 trang 58 Toán 11 Tập 2: Trong cây cối có chất phóng xạ $C614.$ Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ của nó bằng 86% độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó. Biết chu kì bán rã của $C614$ là T = 5 739 năm, độ phóng xạ của chất phóng xạ tại thời điểm t được cho bởi công thức H = H₀e^–λt với H₀ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0); $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021).

Lời giải:

Do độ phóng xạ của $C614$ bằng 86% độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại nên ta có:

H = 86%H₀

⇔ H₀e^–λt = 0,86H₀

⇔ e^–λt = 0,86

⇔ –λt = ln0,86

$\iff t=\frac{\ln \mathrm{0,86}}{-\lambda }$

Mà hằng số phóng xạ là: $\lambda =\frac{\ln 2}{T}=\frac{\ln 2}{5730}$

Do đó $t=\frac{\ln \mathrm{0,86}}{-\frac{\ln 2}{5730}}=-\frac{5730\cdot \ln \mathrm{0,86}}{\ln 2}\approx 1247$ (năm)

Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó là khoảng 1 247 năm.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phương trình mũ, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai