Sách bài tập Toán 11 Bài 15 (Kết nối tri thức): Giới hạn của dãy số


Giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán 11 trang 77

Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) limn+n2+12n2+n+2 ;

b) limn+2n+31+3n .

Lời giải:

a) limn+n2+12n2+n+2=limn+1+1n22+1n+2n2=12 .

b) limn+2n+31+3n=limn+23n+13n113n+1=0 .

Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) limn+n2+2nn2 ;

b) limn+2+n2n4+1 ;

c) limn+n2n+2+n ;

d) limn+3n4n2+1 .

Lời giải:

a) limn+n2+2nn2=limn+n2+2nn+22n2+2n+n+2

=limn+2n4n2+2n+n+2=limn+24n1+2n+1+2n=22=1.

b)limn+2+n2n4+1=limn+2+n22n4+12+n2+n4+1

=limn+4n2+32+n2+n4+1=limn+4+3n22n2+1+1+1n4=42=2.

c) limn+n2n+2+n=limn+n11n+2n2+1=+ .

d) limn+3n4n2+1 =limn+n34+1n2=+ .

Giải SBT Toán 11 trang 78

Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho un=1+a+a2++an1+b+b2++bn với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính limn+un .

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:

un=1+a+a2++an1+b+b2++bn=1an+11a1bn+11b=1b1a.1an+11bn+1.

Do đó,limn+un=limn+1b1a.1an+11bn+1=1b1a(do |a| < 1, |b| < 1).

Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính limn+1+3+5++2n1n2+2n .

Lời giải:

Ta có 1, 3, 5, …, 2n – 1 là một cấp số cộng gồm n số hạng và có số hạng đầu u1 = 1, công sai d = 2.

Khi đó, 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n1+2n12=n2 .

Do đó, limn+1+3+5++2n1n2+2n =limn+n2n2+2n=limn+11+2n=1 .

Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng S=1+15152++1n15n1 + …

Lời giải:

Nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với số hạng đầu u1 = – 1 và công bội q = 15 .

Do đó, S=1115=165=56.

Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03); b) 3,(23).

Lời giải:

a) 1,(03) = 1 + 0,03 + 0,0003 + … + 0,00…03 + …

=1+3100+31002+….+3100n+…..

=1+310011100=1+133=3433

b) 3,(23) = 3 + 0,23 + 0,0023 + … + 0,00…23 + …

=3+23100+231002++23100n+….

=3+2310011100=3+2399=32099

Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un=cosnn2 . Tính limn+un .

Lời giải:

Ta có un=cosnn2=cosnn21n2 .

Mà 1n20 khi n → +∞ nên limn+un=0 .

Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A2B2C2 bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B1C1, C1A1, A1B1. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A3B3C3, …, AnBnCn,… Kí hiệu sn là diện tích của tam giác AnBnCn.

a) Tính sn.

b) Tính tổng s1 + s2 + … + sn + …

Lời giải:

a)

Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích)

Theo cách xác định tam giác A2B2C2, ta có s2 = 14 s1.

Tương tự, s3 = 14 s2, …., sn=14sn1 .

Vậy sn=14n1s1=14n1.3=314n1 .

b) Ta có s1 + s2 + … + sn + … là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 14 . Do đó

s1 + s2 + … + sn + … = 3114=4 .

Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với u1 = 2, un+1=un+23n , n ≥ 1. Đặt vn = un + 1 – un.

a) Tính v1 + v2 + … + vn theo n.

b) Tính un theo n.

c) Tính limn+un .

Lời giải:

a) Ta có vn = un + 1 – un = un+23nun=23n .

Do đó, v1 + v2 + … + vn = 23+232++23n=213+132++13n

=2.113n+1113=3113n+1.

b) Ta có v1 + v2 + … + vn = (u2 – u1) + (u3 – u2) + … + (un + 1 – un)

= un + 1 – u1 = un+23n2=un+23n2 .

Mà theo câu a có v1 + v2 + … + v3113n+1 .

Do đó, un+23n2=3113n+1 . Từ đó suy ra un=513n1 .

c) Ta có

 limn+un=limn+513n1=limn+513n1=5 .

Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) có tính chất unnn+11n2 . Tính limn+un

Lời giải:

Ta có unnn+11n2 , mà 1n20 khi n → +∞ nên limn+unnn+1=0 .

Mặt khác,

 limn+unnn+1=limn+unlimn+nn+1=limn+un1 .

Vậy limn+un = 1.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ