Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giới hạn của hàm số


Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Giải SBT Toán 11 trang 84

Bài 1 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) limx1x33x;

b) limx22x+5;

c) limx+4x2x+1.

Lời giải:

a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn xn ≠ –1 với mọi n và limxn = ‒1.

Ta có: limxn33xn=limxn33limxn=1331=2.

Vậy limx1x33x=2.

b) Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn xn52, xn ≠ 2 với mọi n và limxn = 2.

Ta có:

lim2xn+5=lim2xn+lim5=2limxn+lim5

=22+5=9=3.

Vậy limx22x+5=3.

c) Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = +∞.

Ta có: lim4xn2xn+1 = lim4xnlim1lim2+lim1xn = 012+0=12.

Vậy limx+4x2x+1=12.

Bài 2 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx38+3xx2;

b) limx25x124x;

c) limx2x2x2x+12;

d) limx1102x2.

Lời giải:

a)limx38+3xx2=8+3limx3xlimx3x2 

=8+3332=10.

b) limx25x124x=limx25x1limx224x 

=5limx2x124limx2x

= (5.2 ‒ 1)(2 ‒ 4.2) = ‒54.

c) limx2x2x2x+12=limx2x2xlimx24x2+4x+1=limx2x2limx2x4limx2x2+4limx2x+1

=222422+42+1=69=23.

d) limx1102x2=limx1102x2=10limx12x2

=102limx1x2=102.12=8=22.

Bài 3 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx2x24x+2;

b) limx1x311x;

c) limx3x24x+3x3;

d) limx22x+6x+2;

e) limx0xx+11;

g) limx2x24x+4x24.

Lời giải:

a) limx2x24x+2=limx2x+2x2x+2=limx2x2=22=4.

b) limx1x311x=limx1x1x2+x+1x1

=limx1x2+x+1=limx1x2+limx1x+1=3.

c) limx3x24x+3x3=limx3x1x3x3=limx3x1=31=2

d) limx22x+6x+2=limx22x+62+x+6x+22+x+6

=limx24x+6x+22+x+6=limx2x+2x+22+x+6

=limx212+x+6=12+2+6=14.

e) limx0xx+11=limx0xx+1+1x+11x+1+1

=limx0xx+1+1x+11=limx0x+1+1=2.

g) limx2x24x+4x24=limx2x22x+2x2

=limx2x2x+2=limx2x2limx2x+2=04=0.

Bài 4 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) và g(x) có limx4fx=2limx4gx=3. Tìm các giới hạn:

a) limx4gx3fx;

b) limx42fxgxfx+gx2.

Lời giải:

a) limx4gx3fx=332=9.

b) limx42fxgxfx+gx2=2232+32=121=12.

Bài 5 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) và g(x) có limx+fx=3limx+fx+2gx=7.

Tìm limx+2fx+gx2fxgx.

Lời giải:

Ta có limx+fx+2gx=7.

limx+fx+2limx+gx=7

3+2limx+gx=7

limx+gx=2

Suy ra limx+2fx+gx2fxgx=2limx+fx+limx+gx2limx+fxlimx+gx=23+2232=2.

Bài 6 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=3x+4,     x132x2,   x>1.

Tìm các giới hạn limx1+fx,limx1fxlimx1fx.

Lời giải:

Ta có:

limx1+fx=limx1+32x2=limx1+32limx1+x2

=3212=1.

limx1fx=limx13x+4=3limx1x+4=31+4=1.

⦁ Vì limx1+fx=limx1fx=1 nên limx1fx=1.

Bài 7 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=2x+1,      x1x2+a,  x>1.

Tìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn limx1fx.

Lời giải:

Ta có: limx1fx=limx12x+1=2limx1x+1=21+1=3;

limx1+fx=limx1+x2+a=limx1+x2+a=1+a;

Để tồn tại limx1fx thì limx1fx=limx1+fx

Tức là 1+a=3, suy ra a = 8.

Giải SBT Toán 11 trang 85

Bài 8 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) limx0x2x;

b) limx2x22xx2.

Lời giải:

a) Ta có:

limx0x2x=limx0x2x=limx0x1=limx0x=0;

limx0+x2x=limx0+x2x=limx0+x1=limx0+x=0.

Do limx0x2x=limx0+x2x=0 nên tồn tại giới hạn limx0x2xlimx0x2x=0.

b) Ta có:

limx2+x22xx2=limx2+x22xx2=limx2+xx2x2=limx2+x=2.

limx2x22xx2=limx2x22x2x=limx2xx22xlimx2x=2.

Do limx2+x22xx2limx2x22xx2 nên không tồn tại giới hạn limx2x22xx2.

Bài 9 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx+xx+4;

b) limx2x2+12x+12;

c) limx3x+1x22x;

d) limx+xx2+2x.

Lời giải:

a) limx+xx+4=limx+11+4x=11+40=1.

b) limx2x2+12x+12=limx2+1x22+1x2=2+02+02=12.

c) Với x < 0 thì x2=|x|=x, nên ta có:

limx3x+1x22x=limxx3+1xx12x=limx3+1x12x=3+0120=3.

d) limx+xx2+2x=limx+xx2+2xx+x2+2xx+x2+2x

=limx+x2x2+2xx+x2+2x=limx+2xx+x1+2x

=limx+21+1+2x=21+1=1.

Bài 10 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) limxx3+2x21;

b) limx+x3+2x23x2+1;

c) limxx22x+3.

Lời giải:

a) limxx3+2x21=limxx31+2x1x3

Ta có limxx3=limx1+2x1x3=1+00=1.

Suy ra limxx3+2x21=limxx31+2x1x3=.

b) limx+x3+2x23x2+1=limx+xx2+2x3x2+1

Ta có limx+x=+limx+x2+2x3x2+1=limx+1+2x3+1x2=13

Suy ra limx+x3+2x23x2+1=limx+xx2+2x3x2+1=+.

c) limxx22x+3=limxx212x+3x2

=limxx12x+3x2

Ta có limxx=limxx=+limx12x+3x2=1

Suy ra limxx22x+3=limxx12x+3x2=+.

Bài 11 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) limx2ax+bx2=5;

b) limx1ax+bx1=3.

Lời giải:

a) Do limx2x2=22=0 nên để tồn tại giới hạn hữu hạn limx2ax+bx2=5, trước hết ta phải có limx2ax+b=0 hay 2a + b = 0, suy ra b = ‒2a.

Khi đó,limx2ax+bx2=limx2ax2ax2=limx2ax2x2=limx2a=a

Suy ra a = 5 và b = ‒10.

b) Do limx1x1=11=0 nên để tồn tại giới hạn hữu hạn limx1ax+bx1=3, trước hết ta phải có limx1ax+b=0 hay a + b = 0, suy ra b = ‒a.

Khi đó, limx1ax+bx1=limx1axax1 =limx1ax1x1=limx1ax1x+1x1x+1

=limx1ax1x1x+1=limx1ax+1=a2.

Suy ra a2=3 hay a = 6, suy ra b = ‒6.

Bài 12 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(t, t2), t > 0, nằm trên đường parabol y = x2. Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi điểm M dần đến điểm O?

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(t, t^2) t > 0 nằm trên đường parabol y = x^2

Lời giải:

Trung điểm của đoạn thẳng OM là It2;t22

Đường trung trực của OM nhận OM=t,t2 làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm It2;t22 nên có phương trình d:txt2+t2yt22=0.

Do đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N nên thay x = 0 vào phương trình của d, ta nhận được y=121+t2.

Suy ra N0;121+t2

Điểm M dần đến điểm O khi t dần đến 0+. Ta có limx0+121+t2=12.

Suy ra khi điểm M dần đến điểm O thì điểm N dần đến điểm A0;12.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ