Sách bài tập Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 3 trang 91


Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

A. TRẮC NGHIỆM

Giải SBT Toán 11 trang 91

Câu 1 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: lim3n2+2n2n2 bằng

A. 32.

B. ‒2.

C. 3.

D. ‒3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: lim3n2+2n2n2=lim3+2n2n21=31=3.

Giải SBT Toán 11 trang 92

Câu 2 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: lim4n2+4n+14n+1 bằng

A. 12.

B. 1.

C. 2.

D. +∞.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

lim4n2+4n+14n+1=lim4+4n+1n24+1n=44=12.

Câu 3 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: lim2n+19n2+1n bằng

A. 23.

B. 1.

C. 14.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

lim2n+19n2+1n=lim2+1n9+1n21=231=1.

Câu 4 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un) và (vn) thoả mãn limun = 4, lim(vn – 3) = 0.

lim[un(un – vn)] bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có lim(vn ‒ 3) = 0⇔ limvn = 3

Khi đó limununvn = limun2unvn = 42 – (4.3) = 4.

Câu 5 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: lim4n24n+3n bằng

A. 12.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: lim4n24n+3n=lim12+34n=12.

Câu 6 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: limx2x2x22x4 bằng

A. 32.

B. 12.

C. 1.

D. 12.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có limx2x2x22x4 = limx2x2x+12x2 = limx2x+12=2+12=32.

Câu 7 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: limx12x2x+32 bằng

A. 0.

B. +∞.

C. 2.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có 2x2x+32=2x2x+3+2x+34

=2x1x+3+2x1=2x+3+2.

Khi đó limx12x2x+32=limx12x+3+2 =21+3+2=8.

Câu 8 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Biết limx1x23x+ax1=b với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Do limx1x1=0 nên để tồn tại giới hạn hữu hạn limx1x23x+ax1=b, trước hết ta phải có limx1x23x+a=0 hay 12 ‒ 3.1 + a = 0 ⇔ a = 2.

Khi đó, limx1x23x+ax1=limx1x23x+2x1

limx1x1x2x1=limx1x2=12=1

Theo bài, limx1x23x+ax1=b nên b = −1.

Suy ra a + b = 2 + (‒1) = 1.

Câu 9 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=x23xx3. Đặt a=limx3+fxb=limx3fx. Giá trị của a ‒ 2b bằng

A. 0.

B. 9.

C. ‒3.

D. ‒9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

a=limx3+fx=limx3+x23xx3=limx3+x23xx3=limx3+x=3.

b=limx3fx=limx3x23xx3=limx3x23x3x=limx3x=3.

Khi đó a ‒ 2b = 3 ‒ 2.(‒3) = 9.

Câu 10 trang 92 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng limx+fx=2,limx+fx+2gx=4. Giới hạn limx+fx2gxfx+2gx bằng

A. ‒1.

B. 0.

C. 12

D. 12

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

limx+fx+2gx=4

limx+fx+2limx+gx=4

2limx+gx=42=2

Suy ra limx+fx2gxfx+2gx=limx+fx2limx+gxlimx+fx+2limx+gx=222+2=0.

Giải SBT Toán 11 trang 93

Câu 11 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng limx+2axx2+ax+x=3. Giá trị của a là

A. 34

B. 6.

C. 32

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có limx+2axx2+ax+x=3limx+2a1+ax+1=3

2a2=3a=3.

Câu 12 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: limx213xx+2 bằng

A. +∞.

B. ‒∞.

C. ‒3 .

D. 74

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do limx213x=132=1+6=7;limx21x+2=

Nên limx213xx+2=limx213x1x+2=.

Câu 13 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng hàm số fx=2x+1x3 khi x3a khi x=3 liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. 14

B. 14

C. ‒2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x+10x30x1x3.

Hàm số fx=2x+1x3 có tập xác định D = [–1; 3) ∪ (3; +∞).

Hàm số y=2x+1 và hàm số y = x – 3 đều liên tục trên các khoảng [–1; 3) và (3; +∞) nên hàm số fx=2x+1x3 liên tục trên các khoảng [–1; 3) và (3; +∞).

Do đó, để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

limx3fx=f3 hay limx32x+1x3=a

limx32x+12+x+1x32+x+1=a

limx33xx32+x+1=a

limx312+x+1=a

12+3+1=aa=14.

Câu 14 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) =tanx  khi 0 <xπ4kcotx khi π4<xπ2 liên tục trên đoạn 0;π2. Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. π2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Để hàm số liên tục trên đoạn 0;π2 thì hàm số liên tục tại điểm limx0+fx=f0limxπ2fx=fπ2.

⦁ Hàm số liên tục tại điểm x=π4 khi và chỉ khi limxπ4fx = limxπ4+fx=fπ4

limxπ4tanx=limxπ4+kcotx=fπ4

tanπ4=kcotπ4 = kcotπ4 ⇔ k – 1 = 1 ⇔ k = 2

⦁ limx0+fx=f0 ⇔ limx0+tanx = tan0 ⇔ tan0 = tan0 (luôn đúng)

⦁ limxπ2fx=fπ2limxπ2kcotx=kcotπ2kcotπ2=kcotπ2 (luôn đúng)

Vậy k = 2.

Câu 15 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng phương trình x3 ‒ 2x ‒3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

A. (‒1; 0).

B. (0; 1).

C. (1; 2).

D. (2; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x3 ‒ 2x ‒3 liên tục trên ℝ.

f(‒1) = (‒1)3 ‒ 2.(‒1) ‒ 3 = ‒2.

f(0) = 03 ‒ 2.0 ‒ 3 = ‒ 3.

f(1) = 13 ‒ 2.1 ‒ 3 = ‒4.

f(2) = 23 ‒ 2.2 ‒ 3 = 1.

f(3) = 33 ‒ 2.3 ‒ 3 = 18.

Ta thấy f(1).f(2) < 0 nên hàm số có nghiệm trong khoảng (1; 2).

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limn2n2+34n3+1;

b) limnn+5n+1.

Lời giải:

a) limn2n2+34n3+1=lim2n3+3n4n3+1=lim2+3n24+1n3=24=12.

b) Ta có:

nn+5n+1

=nn+5n+1n+5+n+1n+5+n+1

=4nn+5+n+1

Suy ra lim4nn+5+n+1=lim41+5n+1+1n =41+1=2.

Bài 2 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho các dãy số (un) và (vn) thoả mãn limun = 2, lim(un – vn) = 4. Tìm lim3unvnunvn+3.

Lời giải:

Ta có lim(un – vn) = 4

Suy ra limun – limv = 4, hay limvn = limun – 4 = 2 – 4 = −2.

Do đó lim3unvnunvn+3=3limunlimvnlimunlimvn+3=32222+3=8.

Bài 3 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm lim6n+4n2n+13n+1.

Lời giải:

Ta có 6n+4n2n+13n+1=1+23n1+12n1+13n (chia cả tử và mẫu cho 6n = 2n.3n).

Do đó lim6n+4n2n+13n+1=lim1+23n1+12n1+13n=111=1.

Giải SBT Toán 11 trang 94

Bài 4 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho a > b > 0 và liman+1+bn2an+bn+1=1. Tìm giá trị của a.

Lời giải:

Ta có an+1+bn2an+bn+1=a+ban2+bban (chia cả tử và mẫu cho an).

Do đó liman+1+bn2an+bn+1=lima+ban2+bban=a+02+b0=a2 ( vì a > b > 0 nên 0<ba<1).

Theo bài, liman+1+bn2an+bn+1=1, suy ra a2=1, do đó a = 2.

Bài 5 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) thoả mãn limnun=12. Tìm lim(3n – 4)un.

Lời giải:

Ta có limun=lim1nnun=lim1nlimnun=012=0.

Từ đó:

lim3n4un=lim3nun4un=3limnun4limun=31240=32.

Bài 6 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích 14).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích 142).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích 14n). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước

Lời giải:

Ta có:

S=14+3142+32143++3n14n+1+

=14+1434+14342++1434n+

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=14, công bội q=34 thỏa mãn |q| < 1 nên S=141134=1.

Bài 7 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A1 của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A2 của A1B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A3 của A2B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia

Lời giải:

Thời gian để mũi tên bay từ A đến A112 giây, từ A1 đến A214=122 giây, từ A2 đến A318=123 giây, …

Tổng thời gian bay của mũi tên là 12+122+123++12n+*

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u1=12 và công bội bằng q=12 thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, tổng này bằng 121112=1 (giây).

Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.

Lập luận của nhà thông thái không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.

Bài 8 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=x29x+3 khi x3a khi x=3.

a) Tìm limx3+fxlimx3fx.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Lời giải:

a) Khi x>3,fx=x29x+3=x29x+3=x3.

Khi x<3,fx=x29x+3=x29x+3=3x.

Từ đó, limx3+fx=limx3+x3=6limx3fx=limx33x=6.

Suy ra limx3+fxlimx3fx=66=12.

b) Do limx3+fxlimx3fx, nên không tồn tại limx3fx.

Do đó, hàm số không liên tục tại x = ‒3 với mọi giá trị của a.

Giải SBT Toán 11 trang 95

Bài 9 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=2x+1x3.

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn limx+fx;limxfx;limx3+fx;limx3fx.

Lời giải:

a) Ta có: x ‒ 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

f(x) là hàm phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {3} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 3) và (3; +∞).

b) Ta có:

limx+fx=limx+2x+1x3=limx+2+1x13x=21=2.

limxfx=limx2x+1x3=limx2+1x13x=21=2.

limx3+fx=limx3+2x+1x3

limx3+2x+1=23+1=7;limx3+1x3=+

Nên limx3+fx=limx3+2x+1x3=+.

limx3fx=limx32x+1x3

limx32x+1=23+1=7;limx31x3=

Nên limx3fx=limx32x+1x3=.

Bài 10 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x2; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm limx+OMMH.

Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x^2; H là hình chiếu vuông góc

Lời giải:

Ta có Mx;x2;OM=x2+x4;MH=x2=x2.

Khi đó limx+OMMH=limx+x2+x4x2

=limx+x2+x4x2x2+x4+x2x2+x4+x2=limx+x2x2+x4+x2

=limx+11x2+1+1=12.

Bài 11 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng phương trình x5 + 3x2 ‒ 1 = 0 trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.

Lời giải:

Xét hàm số f(x) = x5 + 3x2 ‒ 1. Hàm số này liên tục trên ℝ.

Ta có:

f(‒2) = (‒2)5 + 3.(‒2)2 ‒ 1 = ‒32 + 12 ‒ 1 = ‒21.

f(‒1) = (‒1)5 + 3.(‒1)2 ‒ 1 = ‒1 + 3 ‒ 1 = 1.

f(0) = 05 + 3.02 ‒ 1 = ‒1.

f(1) = 15 + 3.12 ‒ 1 = 3.

Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).

Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).

Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0có nghiệm thuộc (0; 1).

Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1)phương trình f(x) = 0 hay x5 + 3x2 ‒ 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm.

Bài 12 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc α0<α<π2, rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10m, một người xuất phát

a) Viết công thức tính S(α) theo α0<α<π2.

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng 0;π2.

c) Tính các giới hạn limx0+Sαlimxπ2+Sα.

Lời giải:

Kí hiệu O là tâm hình tròn.

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10m, một người xuất phát

a) Do tam giác ABC vuông tại C nên AC = ABcosα = 10cosα (m).

Ta có BOC^=2BAC^=2α.

Suy ra độ dài cung CB là l=OB.BOC^=5.2α=10αm.

Quãng đường di chuyển (tính theo m) của người đó là:

Sα=AC+l=10cosα+10α=10α+cosα0<α<π2

b) Do các hàm số y = α và y = cosα liên tục trên ℝ nên hàm số y = S(α) liên tục trên ℝ

0;π2 nên hàm số y = S(α) liên tục trên 0;π2.

c) Ta có:

limα0+Sα=limα0+10α+cosα=100+cos0=100+1=10;

limαπ2+Sα=limαπ2+10α+cosα=10π2+cosπ2=10π2+0=5π.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ