DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
22. Cho hàm số (y = f(x),) là hàm bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Hàm số (y = left| {f({x^2}) – {x^4} – 2,} right|)có bao nhiêu điểm cực trị?
A. (5).
B. (3).
C. (7).
D. (2)
Lời giải
Hàm số (y = f(x),)có dạng: (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,). Ta có: (y’ = f’left( x right) = 3a{x^2} + 2bx + c).
Do(A( – 1;3),,,B(1; – 1),) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (y = f(x),).
Ta có hệ:(left{ begin{array}{l}3a – 2b + c = 0\3a + 2b + c = 0\a + b + c + d = – 1\ – a + b – c + d = 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1\b = 0\c = – 3\d = 1end{array} right.)
Do đó: (f(x), = {x^3} – 3x + 1,)và (f’left( x right) = 3{x^2} – 3)
Xét hàm số (y = g(x) = f({x^2}) – {x^4} – 2 Rightarrow g'(x) = 2x.f'({x^2}) – 4{x^3}).
( Rightarrow g'(x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\f'({x^2}) = 2{x^2}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\3{({x^2})^2} – 3 = 2{x^2}end{array} right.)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = pm sqrt {frac{{1 + sqrt {10} }}{3}} end{array} right.)
Ta có: (g(0) = f(0) – {0^4} – 2 = – 1) .
Do đó ta có BBT của hàm (y = g(x) = f({x^2}) – {x^4}, – 2)như sau:
Qua BBT trên ta thấy đồ thị hàm số (y = g(x) = f({x^2}) – {x^4}, – 2) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có 3 điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành.
Vậy số cực trị của hàm số(y = left| {g(x)} right| = left| {f({x^2}) – {x^4} – 2,} right|) bằng số cực trị của hàm số (y = g(x) = f({x^2}) – {x^4} – 2) cộng với số giao điểm của đồ thị (y = g(x) = f({x^2}) – {x^4} – 2) với trục hoành nên số điểm cực trị của hàm số (y = left| {g(x)} right| = left| {f({x^2}) – {x^4} – 2,} right|) là 5.