DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
27. Cho hàm số (f(x)) là hàm bậc bốn thỏa mãn (f(0) = 0), đồ thị hàm số (f'(x)) như hình vẽ:
Số điểm cực tiểu của hàm số (g(x) = left| {fleft( {{x^3}} right) – 3{x^2}} right|) là:
A. (2).
B. (3).
C. (1).
D. (4)
Lời giải
Xét hàm số (h(x) = fleft( {{x^3}} right) – 3{x^2}) ( Rightarrow h'(x) = 3{x^2}f’left( {{x^3}} right) – 6x = 3xleft( {xf’left( {{x^3}} right) – 2} right)).
Ta có (h'(x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\xf’left( {{x^3}} right) – 2 = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\f’left( {{x^3}} right) = frac{2}{x},left( * right)end{array} right.)
Giải (*): Đặt (t = {x^3}), ta có (*) trở thành (f’left( t right) = frac{2}{{sqrt[3]{t}}}).
Xét hàm số : (y = frac{2}{{sqrt[3]{t}}}); ( Rightarrow y’left( t right) = – frac{2}{{3sqrt[3]{{{t^4}}}}})
Trên hệ trục (left( {Oty} right)) vẽ hai đồ thị (y = f’left( t right)) và (y = frac{2}{{sqrt[3]{t}}}):
Dễ thấy chúng cắt nhau tại hai điểm có hoành độ ({t_1},v`a ,,{t_2},left( {{t_1}, < ,0,, < {t_2}} right)).
Do đó: (left( * right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = sqrt[3]{{{t_1}}}\x = sqrt[3]{{{t_2}}}end{array} right.). Từ đó (h(x) = fleft( {{x^3}} right) – 3{x^2}) có 3 điểm cực trị (0,,,sqrt[3]{{{t_1}}},,,sqrt[3]{{{t_2}}}).
Ta có bảng biến thiên của hàm số (h(x) = fleft( {{x^3}} right) – 3{x^2}):
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số (h(x)) suy ra bảng biên thiên của hàm số (g(x)).
Vậy hàm số (g(x)) có 3 điểm cực tiểu.