DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho (a,b,c > 1) và các số thực dương thay đổi (x,y,z) thỏa mãn ({a^x} = {b^y} = {c^z} = sqrt {abc} .) Tìm giá trị lớn nhất của (P = frac{{16}}{x} + frac{{16}}{y} – {z^2}).
A. (24).
B. (24 – frac{3}{{sqrt[3]{4}}}).
C. (20).
D. (20 – frac{3}{{sqrt[3]{4}}}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1.
Đặt ({a^x} = {b^y} = {c^z} = sqrt {abc} = t) (left( {t > 1} right)). Suy ra (left{ begin{array}{l}a = {t^{frac{1}{x}}}\b = {t^{frac{1}{y}}}\c = {t^{frac{1}{z}}}\abc = {t^2}end{array} right.)
( Rightarrow {t^{frac{1}{x}}}.{t^{frac{1}{y}}}.{t^{frac{1}{z}}} = {t^2})( Leftrightarrow frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} = 2)( Leftrightarrow frac{1}{x} + frac{1}{y} = 2 – frac{1}{z}).
Khi đó (P = 16left( {frac{1}{x} + frac{1}{y}} right) – {z^2} = 16left( {2 – frac{1}{z}} right) – {z^2} = 32 – left( {frac{8}{z} + frac{8}{z} + {z^2}} right)).
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương (frac{8}{z},frac{8}{z},{z^2}) ta có (frac{8}{z} + frac{8}{z} + {z^2} ge 3sqrt[3]{{frac{8}{z}.frac{8}{z}.{z^2}}} = 12).
Dấu “( = )” xảy ra khi và chỉ khi (frac{8}{z} = {z^2})( Leftrightarrow z = 2)( Rightarrow frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{3}{2}).
Khi đó (P = 32 – left( {frac{8}{z} + frac{8}{z} + {z^2}} right) le 32 – 12 = 20). Vậy (max P = 20).
Cách 2.
Từ (frac{1}{x} + frac{1}{y} = 2 – frac{1}{z} > 0)( Rightarrow z > frac{1}{2}). Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (P = 16left( {2 – frac{1}{z}} right) – {z^2}).
Dùng TABLEvà nhập hàm số (fleft( x right) = 16 times left( {2 – frac{1}{x}} right) – {x^2}). Với các giá trị Bắt đầu, Kết thúc và Bước lần lượt bằng (frac{1}{2}), (10), (frac{{10 – 0,5}}{{29}}).
Quan sát bảng giá trị, ta thấy (fleft( x right)) có giá trị lớn nhất xấp xỉ bằng (19,945). Đối chiếu với đáp án ta chọn
C.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========