DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương (x) thỏa mãn ({log _2}left( {frac{{x + 1}}{2}} right) + x = {4^{{{sin }^4}y + {{cos }^4}y}} – {sin ^2}2y)?
A. Vô số.
B. (3).
C. (1).
D. (2).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
({log _2}left( {frac{{x + 1}}{2}} right) + x = {4^{{{sin }^4}y + {{cos }^4}y}} – {sin ^2}2y Leftrightarrow {log _2}left( {x + 1} right) + x – 1 = {4^{{{sin }^4}y + {{cos }^4}y}} – {sin ^2}2y)
(begin{array}{l} Leftrightarrow {log _2}left( {x + 1} right) + x + 1 = {2^{2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right)}} – 4{sin ^2}y.co{s^2}y + 2\ Leftrightarrow {log _2}left( {x + 1} right) + x + 1 = {2^{2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right)}} – 4{sin ^2}y.co{s^2}y + 2{left( {{{sin }^2}y + {{cos }^2}y} right)^2}end{array})
( Leftrightarrow {log _2}left( {x + 1} right) + x + 1 = {2^{2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right)}} + 2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right)).
Xét hàm số (f(t) = {2^t} + t,,,forall ,t > 0 Rightarrow f'(t) = {2^t}ln 2 + 1 > 0,,,forall ,t > 0).
( Rightarrow ) hàm số (y = f(t)) đồng biến trên khoảng (left( {0,;, + infty } right)).
Vì vậy( Leftrightarrow fleft( {{{log }_2}left( {x + 1} right)} right) = fleft( {2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right)} right) Leftrightarrow x + 1 = {2^{2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right)}}).
Ta có: ({sin ^4}y + {cos ^4}y = 1 – frac{1}{2}{sin ^2}2y in left[ {frac{1}{2},;,1} right]) nên (1 le 2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right) le 2)
( Leftrightarrow 2 le {2^{2left( {{{sin }^4}y + {{cos }^4}y} right)}} le 4 Leftrightarrow 2 le x + 1 le 4 Leftrightarrow 1 le x le 3).
Mà (x) là số nguyên dương nên (x in left{ {1;,2;,3} right}).
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của (x) thỏa mãn đề bài.
– Tư duy + Casio:
+ Ta có: ({log _2}left( {frac{{x + 1}}{2}} right) + x = {4^{{{sin }^4}y + {{cos }^4}y}} – {sin ^2}2y) hay VT( = )VP.
+ Đối với dạng hàm lượng giác thì hãy khảo sát:
Suy ra: (1 le {log _2}left( {frac{{x + 1}}{2}} right) + x le 4 Leftrightarrow 1 le x le 3).
Mà (x) là số nguyên dương nên (x in left{ {1;,2;,3} right}).
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của (x) thỏa mãn đề bài.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========