DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho phương trình (2{log _3}left( {cot x} right) = {log _2}left( {cos x} right)). Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (left( {0{rm{ }};{rm{ }}2020pi } right))
A. (2020).
B. (2019).
C. (1009).
D. (1010).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Điều kiện (sin x > 0,cos x > 0).
Đặt (u = 2{log _3}left( {cot x} right) = {log _2}left( {cos x} right)) ta có (left{ begin{array}{l}{cot ^2}x = {3^u}\cos x = {2^u}end{array} right.).
Vì ({cot ^2}x = frac{{{{cos }^2}x}}{{1 – {{cos }^2}x}}) nên suy ra
({3^u} = frac{{{{left( {{2^u}} right)}^2}}}{{1 – {{left( {{2^u}} right)}^2}}} Leftrightarrow {left( {{2^u}} right)^2} = {3^u}left( {1 – {{left( {{2^u}} right)}^2}} right) Leftrightarrow {left( {frac{4}{3}} right)^u} + {4^u} – 1 = 0{rm{ }}left( 1 right)).
Xét hàm số (fleft( u right) = {left( {frac{4}{3}} right)^u} + {4^u} – 1 = 0), (f’left( u right) = {left( {frac{4}{3}} right)^u}ln frac{4}{3} + {4^u}ln 4 > 0,forall u in mathbb{R})
Suy ra (fleft( u right)) đồng biến trên (mathbb{R}) nên phương trình (fleft( u right) = 0) có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy (fleft( { – 1} right) = 0) nên phương trình (left( 1 right)) có nghiệm duy nhất (u = – 1).
Với (u = – 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}cos x = frac{1}{2}\{cot ^2}x = frac{1}{3}end{array} right. Leftrightarrow cos x = frac{1}{2} Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + k2pi ,k in mathbb{Z}). Đối chiếu điều kiện ta được (x = frac{pi }{3} + k2pi ,k in mathbb{Z}). Vì (x in left( {0{rm{ }};{rm{ }}2020pi } right)) nên ( – frac{1}{6} < k < frac{{6059}}{6}).
Do (k in mathbb{Z}) ta chọn (k in left{ {0,1,2,…,1009} right}).
Vậy phương trình có (1010) nghiệm thuộc khoảng (left( {0{rm{ }};{rm{ }}2020pi } right)).
– Tư duy C. asio:
– Gặp dạng lượng giác thì chúng ta dò bảng.
– Xử lý trên một vòng tròn lượng giác, rồi nhân số vòng tròn sẽ tìm được đáp số.
Như vậy, một vòng tròn (left( {360^circ = 2pi } right)) thì chỉ có một nghiệm ( Rightarrow 1010) vòng nghĩa là có (1010) nghiệm.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========