Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trug điểm của các cạnh AB, BC.

Đặt (frac{SI}{SA}=xleft( 0

Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AD, CD lần lượt tại P, Q. 

Trong (SAD) kéo dài PI cắt SD tại E. 

Trong (SCD) nối QE cắt SC tại J. 

Khi đó (IMN) cắt hình chóp theo thiết diện là IMNJE. 

Mặt phẳng (IMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi ({{V}_{1}}) là phần thể tích chứa đỉnh S và (V={{V}_{S.ABCD}})

Khi đó ta có: (frac{{{V}_{1}}}{V}=frac{7}{20}.)

Ta có: ({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{IJE}}.)

+) (frac{{{V}_{S.BMN}}}{V}=frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=frac{1}{2}.frac{BM}{BA}.frac{BN}{BC}=frac{1}{8}Rightarrow {{V}_{S.BMN}}=frac{V}{8}.)

+) (frac{{{V}_{S.MNI}}}{{{V}_{S.MNA}}}=frac{SI}{SA}=xRightarrow {{V}_{S.MNI}}=x{{V}_{S.MNA}})

(frac{{{V}_{S.MNA}}}{V}=frac{{{S}_{MNA}}}{{{S}_{ABCD}}}=frac{frac{1}{2}{{S}_{ABN}}}{{{S}_{ABCD}}}=frac{1}{8}Rightarrow {{V}_{S.MNA}}=frac{1}{8}V)

(Rightarrow {{V}_{S.MNI}}=frac{x}{8}V.)

+) (frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=frac{SI}{SA}.frac{SJ}{SC})

Ta có: (left{ begin{array}{l}
left( {IMN} right) cap left( {SAC} right) = IJ\
left( {IMN} right) cap left( {ABCD} right) = MN\
left( {SAC} right) cap left( {ABCD} right) = AC
end{array} right.,) lại có MN // AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC) 

(Rightarrow IJ//MNRightarrow frac{SI}{SA}=frac{SJ}{SC}=x.)

(Rightarrow frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=frac{SI}{SA}.frac{SJ}{SC}={{x}^{2}}Rightarrow {{V}_{S.INJ}}={{x}^{2}}{{V}_{S.ANC}}.)

(frac{{{V}_{S.ANC}}}{V}=frac{{{S}_{ANC}}}{{{S}_{ABCD}}}=frac{frac{1}{2}{{S}_{ABC}}}{ABCD}=frac{1}{4}.)

(Rightarrow {{V}_{S.INJ}}=frac{{{x}^{2}}}{4}V.)

+) (frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}=frac{SI}{SA}.frac{SJ}{SC}.frac{SE}{SD}={{x}^{2}}frac{SE}{SD}.)

Dễ dàng chứng minh được (Delta BMN=Delta CQNleft( g.c.g right)Rightarrow BM=CQ=frac{1}{2}CD.)

(Rightarrow DQ=3CQ=3AMRightarrow frac{AM}{DQ}=frac{PA}{PD}=frac{1}{3}.)

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SAD ta có: 

(frac{PA}{PD}.frac{ED}{ES}.frac{IS}{IA}=1Rightarrow frac{1}{3}.frac{ED}{ES}.frac{x}{1-x}=1Leftrightarrow frac{ED}{ES}=frac{3left( 1-x right)}{x})

(Rightarrow frac{ED+ES}{ES}=frac{3-2x}{x}Rightarrow frac{SE}{SD}=frac{x}{3-2x})

(Rightarrow frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}={{x}^{2}}frac{SE}{SD}={{x}^{2}}.frac{x}{3-2x}=frac{{{x}^{3}}}{3-2x}.)

Mà ({{V}_{S.ACD}}=frac{1}{2}VRightarrow {{V}_{S.IJE}}=frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V.)

Khi đó ta có: 

({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{S.IJE}})

      (=frac{V}{8}+frac{x}{8}V+frac{{{x}^{2}}}{4}V+frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V)

      (=left( frac{1}{8}+frac{x}{8}+frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{x}^{3}}}{6-4x} right)V)

(Rightarrow frac{1}{8}+frac{x}{8}+frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{x}^{3}}}{6-4x}=frac{7}{20})

Thử đáp án: 

Đáp án A: (k=frac{IA}{IS}=frac{1}{2}Rightarrow x=frac{SI}{SA}=frac{2}{3}Rightarrow ) Loại

Đáp án B: (k=frac{IA}{IS}=frac{2}{3}Rightarrow frac{SI}{SA}=frac{3}{5}Rightarrow ) Thỏa mãn.