DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hai số thực dương (x,,,y) thỏa mãn (x > frac{1}{{10}}) và (log x + log y + 1 ge log left( {x + y} right).)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = x + 3y) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. (left[ {frac{5}{3};2} right)).
B. (left[ {0;;frac{4}{3}} right])
C. (left[ {frac{4}{3};frac{5}{3}} right))
D. (left[ {frac{4}{3};2} right].).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Điều kiện (left{ begin{array}{l}x > 0\y > 0end{array} right.). Với điều kiện trên ta có: (log left( {10xy} right) ge log left( {x + y} right) Leftrightarrow 10xy ge x + y)
( Leftrightarrow yleft( {10x – 1} right) ge x > 0 Rightarrow y ge frac{x}{{10x – 1}};;left( {do;x > frac{1}{{10}}} right))
Do đó (S = x + 3y ge x + frac{{3x}}{{10x – 1}}.)
Xét (fleft( x right) = x + frac{{3x}}{{10x – 1}};left( {x > frac{1}{{10}}} right)). Ta có (f’left( x right) = 1 – frac{3}{{{{left( {10x – 1} right)}^2}}};)
(f’left( x right) = 0 Leftrightarrow {left( {10x – 1} right)^2} = 3 Leftrightarrow 10x – 1 = sqrt 3 Leftrightarrow x = frac{{sqrt 3 + 1}}{{10}};;left( {do;x > frac{1}{{10}};} right);.)
Lập bảng biến thiên ta có (mathop {min }limits_{left( {frac{1}{{10}}; + infty } right)} fleft( x right) = fleft( {frac{{1 + sqrt 3 }}{{10}}} right) = frac{{2 + sqrt 3 }}{5};.)
Khi đó (S = x + 3y ge x + frac{{3x}}{{10x – 1}} ge mathop {min }limits_{left( {frac{1}{{10}}; + infty } right)} fleft( x right) = frac{{2 + sqrt 3 }}{5};.)
(S = frac{{2 + sqrt 3 }}{5}; Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = frac{{sqrt 3 + 1}}{{10}}\y = frac{x}{{10x – 1}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = frac{{sqrt 3 + 1}}{{10}}\y = frac{{3 + sqrt 3 }}{{30}}end{array} right.).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = x + 3y) là ({S_{min }} = frac{{2 + sqrt 3 }}{5} in left[ {0;;frac{4}{3}} right].)
– Tư duy + C. asio:
+ Ta có: (log x + log y + 1 ge log left( {x + y} right) Leftrightarrow 10xy ge x + y Leftrightarrow y ge frac{x}{{10x – 1}};left( {do;x > frac{1}{{10}}} right)).
+ Ta lại có: (S = x + 3y = x + 3left( {frac{x}{{10x – 1}}} right)). Bấm đạo hàm tìm điểm cực trị.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========