DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho các số thực dương (x,y) thỏa mãn ({2020^{2019left( {{x^2} – y + 4} right)}} = frac{{4x + y}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (P = y – 2x).
A. (min P = 4).
B. (min P = 2).
C. (min P = 1).
D. (min P = 3).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1.
Từ giả thiết ({2020^{2019left( {{x^2} – y + 4} right)}} = frac{{4x + y}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}) suy ra
({2020^{2019left[ {{{left( {x + 2} right)}^2} – left( {4x + y} right)} right]}} = frac{{4x + y}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}})( Leftrightarrow frac{{{{2020}^{2019{{left( {x + 2} right)}^2}}}}}{{{{2020}^{2019left( {4x + y} right)}}}} = frac{{4x + y}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}) ( Leftrightarrow {left( {x + 2} right)^2}{.2020^{2019{{left( {x + 2} right)}^2}}} = left( {4x + y} right){.2020^{2019left( {4x + y} right)}}). (left( 1 right))
Xét hàm số (fleft( t right) = t{.2020^{2019t}}) với (t > 0).
Ta có (f’left( t right) = {2020^{2019t}} + 2019t{.2020^{2019t}}.ln 2020 > 0,,,forall t > 0). Suy ra hàm số (fleft( t right)) đồng biến trên(left( {0; + infty } right)).
Khi đó (left( 1 right) Leftrightarrow fleft( {{{left( {x + 2} right)}^2}} right) = fleft( {4x + y} right))( Leftrightarrow {left( {x + 2} right)^2} = 4x + y)( Leftrightarrow y = {x^2} + 4).
Suy ra (P = y – 2x = {x^2} – 2x + 4 = {left( {x – 1} right)^2} + 3 ge 3,forall x > 0).
Dấu “( = )” xảy ra khi và chỉ khi ({left( {x – 1} right)^2} = 0)( Leftrightarrow x = 1 Rightarrow y = 5). Vậy (min P = 3).
Cách 2.
Ta tối giản (2020 to 20) và (2019 to 19) để máy tính có thể xử lý được các phép tính.
Khi đó giả thiết trở thành ({20^{19left( {{x^2} – y + 4} right)}} = frac{{4x + y}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}). Cho (x = 0,01), ta có
({20^{19left( {0,{{01}^2} – y + 4} right)}} = frac{{4.0,01 + y}}{{{{left( {0,01 + 2} right)}^2}}}).
Nhập vào máy tính biểu thức ({20^{19left( {0,{{01}^2} – x + 4} right)}} – frac{{4 times 0,01 + x}}{{{{left( {0,01 + 2} right)}^2}}}) như sau
Sau đó sử dụng lệnh SOLVEđể tìm nghiệm (x).
Suy ra (y = 4,0001 = 4 + {left( {0,01} right)^2} = 4 + {x^2}).
Vậy (P = y – 2x = {x^2} – 2x + 4). Sử dụng tính năng giải phương trình bậc hai của máy tính ta tìm được (min P = 3) khi (x = 1).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========