Tìm (m) để phương trình ({{x}^{6}}+6{{x}^{4}}-{{m}^{2}}{{x}^{3}}+left( 15-3{{m}^{2}} right){{x}^{2}}-6mx+10=0) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc (left[ frac{1}{2};2 right]?)

Phương trình đã cho tương đương với

(left( {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+8 right)-left( {{m}^{3}}{{x}^{3}}+2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+3mx+1 right)+left( 3{{x}^{2}}-3mx+3 right)=0)

(Leftrightarrow {{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{3}}-{{left( mx+1 right)}^{3}}+3left( {{x}^{2}}-mx+1 right)=0)

(Leftrightarrow left( {{x}^{2}}-mx+1 right)left[ {{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{2}}+left( {{x}^{2}}+2 right)left( mx+1 right)+{{left( mx+1 right)}^{2}}+3 right]=0)

(Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0) (Vì ({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}={{left( a+frac{1}{2}b right)}^{2}}+frac{3}{4}{{b}^{2}}ge 0,forall a,b).)

(Leftrightarrow x+frac{1}{x}=m) (Do (x=0) không thỏa mãn phương trình này).

Xét hàm số (fleft( x right)=x+frac{1}{x}) trên đoạn (left[ frac{1}{2};2 right].) Ta có:

(f’left( x right)=1-frac{1}{{{x}^{2}}})

(f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1 notin left( {frac{1}{2};2} right)\
x = 1 in left( {frac{1}{2};2} right)
end{array} right.)

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn (left[ frac{1}{2};2 right]) thì (2

Vậy tất cả các giá trị cần tìm của (m) là (2