DẠNG TOÁN KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – THỂ TÍCH HÌNH TRÒN XOAY – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho mặt cầu ((S)) có bán kính (R). Hình nón ((N)) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu ((S)). Thể tích lớn nhất của khối nón ((N)) là
A. (frac{{32{R^3}}}{{27}}.)
B. (frac{{32pi {R^3}}}{{27}}.)
C. (frac{{32{R^3}}}{{81}}.)
D. (frac{{32pi {R^3}}}{{81}}.)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử ta dựng được hình nón có đỉnh (A) và đáy là đường tròn có đường kính (BC) như hình vẽ, gọi (;H) là trung điểm của(BC), suy ra (AH bot BC.)
Đặt (AH = x,(R < x < 2R).)
Ta có ({V_{No`u n}} = frac{1}{3}pi .B{H^2}.AH = frac{pi }{3}xleft[ {{R^2} – {{(x – R)}^2}} right] = frac{pi }{3}x( – {x^2} + 2Rx) = frac{pi }{3}( – {x^3} + 2R{x^2}).)
Xét hàm số (f(x) = – {x^3} + 2R{x^2}) trên khoảng ((R;2R).)
Ta có (f'(x) = – 3{x^2} + 4Rx = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0,(loa”i i)\x = frac{{4R}}{3}end{array} right.)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có (max f(x) = frac{{32}}{{27}}R) tại (x = frac{{4R}}{3}.)
Vậy thể tích lớn nhất của khối nón ((N)) là (V = frac{pi }{3}.frac{{32{R^3}}}{{27}} = frac{{32pi {R^3}}}{{81}}.)
===========