Cho hàm số (y=fleft( x right)) có bảg biến thiên như hình dưới đây.

Ta có (g’left( x right)=left( 4-2x right).f’left( 4x-{{x}^{2}} right)+{{x}^{2}}-6x+8=left( 2-x right)left[ 2f’left( 4x-{{x}^{2}} right)+4-x right].)

Với (xin left[ 1;3 right]) thì (left{ begin{array}{l}
4 – x > 0\
3 le 4x – {x^2} le 4
end{array} right.) nên (f’left( 4x-{{x}^{2}} right)>0.)

Suy ra (2f’left( 4x-{{x}^{2}} right)+4-x>0,forall xin left[ 1;3 right].)

Khi đó (g’left( x right)=0Leftrightarrow x=2in left[ 1;3 right].)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (underset{xin left[ 1;3 right]}{mathop{max }},gleft( x right)=gleft( 2 right)=fleft( 4 right)+5=5+5=10.)