Cho hàm số(f(x) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d) với (a,b,c,d in mathbb{R}).
Biết hàm số(g(x) = f(x) + {f^prime }(x) + {f^{prime prime }}(x) + {f^{prime prime prime }}(x)) có ba giá trị cực trị là ( – 14;4;6). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (y = frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}}) và (y = 1) bằng
A. (2ln 3)
B. (ln 10)
C. (ln 3)
D. (ln 5)
Lòi giải
Xét hàm số: (g(x) = f(x) + {f^prime }(x) + {f^{prime prime }}(x) + {f^{prime prime prime }}(x)).
Ta có ({g^prime }(x) = {f^prime }(x) + {f^{prime prime }}(x) + {f^{prime prime prime }}(x) + {f^{prime prime prime }}(x) = {f^prime }(x) + {f^{prime prime }}(x) + {f^{prime prime prime }}(x) + 24)
Vì ({f^{prime prime prime prime }}(x) = 24). Gọi ({x_1};{x_2};{x_3}) là các điểm cực trị của hàm số thì ta có ({g^prime }left( {{x_1}} right) = {g^prime }left( {{x_2}} right) = {g^prime }left( {{x_3}} right) = 0) và có thể giả sử (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{gleft( {{x_1}} right) = – 14}\{gleft( {{x_2}} right) = 4}\{gleft( {{x_3}} right) = 6}end{array}} right.)
Xét phương trình: (frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} = 1 Leftrightarrow f(x) = g(x) + 24 Leftrightarrow {f^prime }(x) + {f^{prime prime }}(x) + {f^{prime prime prime }}(x) + 24 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\{x = {x_2}}\{x = {x_3}}end{array}} right.)
Diện tích hình phẳng cần tính là
(S = left| {int_{{x_1}}^{{x_3}} {left( {frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} – 1} right)} {rm{d}}x} right| = left| {int_{{x_1}}^{{x_2}} {left( {frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} – 1} right)} {rm{d}}x} right| + left| {int_{{x_2}}^{{x_3}} {left( {frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} – 1} right)} {rm{d}}x} right|)
( = left| {int_{{x_1}}^{{x_2}} {left( {frac{{g'(x)}}{{g(x) + 24}}} right)} {rm{d}}x} right| + left| {int_{{x_2}}^{{x_3}} {left( {frac{{g'(x)}}{{g(x) + 24}}} right)} {rm{d}}x} right| = left| {left. {ln left| {gleft( {x) + 2x} right)} right|} right|_{{x_1}}^{{x_2}}} right| + left| {left. {ln left| {gleft( {x) + 2x} right)} right|} right|_{{x_2}}^{{x_3}}} right|)
( = left| {ln left| {gleft( {{x_2}} right) + 24} right| – ln left| {gleft( {{x_1}} right) + 24} right|} right| + left| {ln left| {gleft( {{x_3}} right) + 24} right| – ln left| {gleft( {{x_2}} right) + 24} right|} right| = ln 3)