Câu hỏi:
Cho số phức (z) thỏa mãn (|z – 3 – 4i| = sqrt 5 ) và biểu thức (P = |z + 2{|^2} – |z – i{|^2}) đạt giá trị lớn nhất. Tính (|z + i|).
A. (5sqrt 3 ).
B. (sqrt {41} ).
C. (sqrt {61} ).
D. (3sqrt 5 ).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử (z = x + yi,(x,y in mathbb{R})).
+) Ta có: (|z – 3 – 4i| = sqrt 5 Leftrightarrow {(x – 3)^2} + {(y – 4)^2} = 5) (1).
+) (P = |z + 2{|^2} – |z – i{|^2} = left[ {{{(x + 2)}^2} + {y^2}} right] – left[ {{x^2} + {{(y – 1)}^2}} right] = 4x + 2y + 3)
( = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23 le sqrt {left( {{4^2} + {2^2}} right)left[ {{{(x – 3)}^2} + {{(y – 4)}^2}} right]} + 23 = 33)
Suy ra (P = 33 Leftrightarrow frac{{x – 3}}{4} = frac{{y – 4}}{2} Leftrightarrow x – 3 = 2(y – 4))
Từ (1) và (2) suy ra(left{ begin{array}{l}x = 5\y = 5end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}x = 1\y = 3end{array} right.)
Với (left{ begin{array}{l}x = 5\y = 5end{array} right.) thì (P = 33); Với (left{ begin{array}{l}x = 1\y = 3end{array} right.) thì (P = 13)
Do đó (z = 5 + 5i Rightarrow left| {z + i} right| = sqrt {61} )
=======