Câu hỏi:
Cho số phức ({z_1})và ({z_2})thỏa mãn ({z_1} + {z_2} = 1 – 2i)và (left| {{z_1} – {z_2}} right| = 5). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (M = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|).
A. (sqrt {50} ).
B. (sqrt {30} ).
C. (2sqrt 5 ).
D. (3sqrt 5 ).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt ({z_1} = x + yileft( {x,,,,y in mathbb{R}} right)). Do ({z_1} + {z_2} = 1 – 2i)nên ({z_2} = left( {1 – x} right) – left( {2 + y} right)i).
Mặt khác (left| {{z_1} – {z_2}} right| = 5)nên (left| {{z_1} – {z_2}} right| = sqrt {{{left( {1 – 2x} right)}^2} + {{left( {2y + 2} right)}^2}} = sqrt {4{x^2} + 4{y^2} – 4x + 8y + 5} = 5)
( Leftrightarrow )(2{x^2} + 2{y^2} – 2x + 4y = 10)(left( 1 right)).
Suy ra (T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| = sqrt {{x^2} + {y^2}} + sqrt {{{left( {1 – x} right)}^2} + {{left( {2 + y} right)}^2}} ).
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ({M^2} le 2left( {2{x^2} + 2{y^2} – 2x + 4y + 5} right))(left( 2 right)).
Từ (left( 1 right))và (left( 2 right))ta có ({M^2} le 30 Leftrightarrow M le sqrt {30} ). Vậy ({M_{max }} = sqrt {30} ).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Môđun của số phức:
Số phức (z = a + bi)được biểu diễn bởi điểm (Mleft( right)) trên mặt phẳng (Oxy).
Độ dài của véctơ (overrightarrow ) được gọi là môđun của số phức z.
Kí hiệu (left| z right| = left| right| = sqrt + } )
Tính chất ∙ (left| z right| = sqrt + } = sqrt = left| } right|) ∙ (left| z right| ge 0,;forall z in mathbb;,left| z right| = 0 Leftrightarrow z = 0)∙ (left| right| = left| z right|.left| right|) ∙ (left| }} right| = frac} right|}},left( right)) ∙ (left| right|} right| le left| right| le left| z right| + left| right|)
(left| right| = left| k right|.left| z right|,k in mathbb)
Chú ý: (left| } right| = left| – + 2abi} right| = sqrt – )}^2} + 4} = + = = right|^2} = z.overline z ).
Lưu ý: (left| + } right| le left| } right| + left| } right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right))
(left| – } right| le left| } right| + left| } right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right)).
(left| + } right| ge left| } right| – left| } right|} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right))
(left| – } right| ge left| } right| – left| } right|} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right))
( + } right|^2} + – } right|^2} = 2left( } right|}^2} + } right|}^2}} right))
( = left| right|left| z right| = right|^2})() (forall z in mathbb)
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ (x,y) Quỹ tích điểm M(} + by + c = 0) (1)
(left| right| = left| right|) (2)
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Cho số phức (z) thỏa mãn (left| right| = left| z right|), tìm (}). Khi đó ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là đường trung trực đoạn (OA) với (Aleft( right))
(left{ begin} = fracleft| } right| = fracsqrt + } \z = frac + fraciend right.)
Cho số phức thỏa mãn điều kiện (left| right| = left| right|.) Tìm(}). Ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là đường trung trực đoạn (AB) với (Aleft( right),Bleft( right))
(} = dleft( right) = frac + – – } right|}} right)}^2} + right)}^2}} }})
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Cho số phức (z) thỏa mãn điều kiện (left| right| = R > 0,left( } right| = R} right)). Tìm (},}). Ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là đường tròn tâm (Ileft( right)) bán kính (R)
(left{ begin} = OI + R = sqrt + } + R = left| } right| + R{left| z right|_} = left| right| = left| + } – R} right| = left| } right| – R} right|end right.)
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
Cho số phức (z) thỏa mãn điều kiện (left| right| + left| right| = 2a,,left( right)) Khi đó ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là Elip: (frac}}}} + frac}} – }} = 1)
(left{ begin} = a{left| z right|_} = sqrt – } end right.)