Câu hỏi:
Giả sử ({z_1},{z_2}) là hai trong các số phức (z) thoả mãn (left| {iz + sqrt 2 – i} right| = 1) và (left| {{z_1} – {z_2}} right| = 2). Tìm GTLN của (P = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|).
A. ({P_{max }} = 3).
B. ({P_{max }} = 2sqrt 3 ).
C. ({P_{max }} = 3sqrt 2 ).
D. ({P_{max }} = 4).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi (A;B) lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức ({z_1},{z_2}).
Ta có : (left| {iz + sqrt 2 – i} right| = 1 Leftrightarrow left| i right|.left| {z – 1 – sqrt 2 i} right| = 1)( Leftrightarrow left| {z – 1 – sqrt 2 i} right| = 1)( Rightarrow A,B in left( C right):{left( {x – 1} right)^2} + {left( {y – sqrt 2 } right)^2} = 1),có tâm (Ileft( {1;sqrt 2 } right)), bán kính (R = 1).
(left| {{z_1} – {z_2}} right| = 2 Leftrightarrow AB = 2 = 2R) nên (AB) là đường kínhcủađường tròn (left( C right)).
(P = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|)( = OA + OB).
Ta có: ({P^2} = {left( {OA + OB} right)^2} le 2left( {O{A^2} + O{B^2}} right)) mà (O{A^2} + O{B^2} = 2O{I^2} + frac{{A{B^2}}}{2})(2.3 + 2 = 8) ( Rightarrow {P^2} le 16 Rightarrow P le 4). Dấu xảy ra khi (OA = OB). Vậy ({P_{max }} = 4).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Môđun của số phức:
Số phức (z = a + bi)được biểu diễn bởi điểm (Mleft( right)) trên mặt phẳng (Oxy).
Độ dài của véctơ (overrightarrow ) được gọi là môđun của số phức z.
Kí hiệu (left| z right| = left| right| = sqrt + } )
Tính chất ∙ (left| z right| = sqrt + } = sqrt = left| } right|) ∙ (left| z right| ge 0,;forall z in mathbb;,left| z right| = 0 Leftrightarrow z = 0)∙ (left| right| = left| z right|.left| right|) ∙ (left| }} right| = frac} right|}},left( right)) ∙ (left| right|} right| le left| right| le left| z right| + left| right|)
(left| right| = left| k right|.left| z right|,k in mathbb)
Chú ý: (left| } right| = left| – + 2abi} right| = sqrt – )}^2} + 4} = + = = right|^2} = z.overline z ).
Lưu ý: (left| + } right| le left| } right| + left| } right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right))
(left| – } right| le left| } right| + left| } right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right)).
(left| + } right| ge left| } right| – left| } right|} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right))
(left| – } right| ge left| } right| – left| } right|} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow = k,left( right))
( + } right|^2} + – } right|^2} = 2left( } right|}^2} + } right|}^2}} right))
( = left| right|left| z right| = right|^2})() (forall z in mathbb)
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ (x,y) Quỹ tích điểm M(} + by + c = 0) (1)
(left| right| = left| right|) (2)
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Cho số phức (z) thỏa mãn (left| right| = left| z right|), tìm (}). Khi đó ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là đường trung trực đoạn (OA) với (Aleft( right))
(left{ begin} = fracleft| } right| = fracsqrt + } \z = frac + fraciend right.)
Cho số phức thỏa mãn điều kiện (left| right| = left| right|.) Tìm(}). Ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là đường trung trực đoạn (AB) với (Aleft( right),Bleft( right))
(} = dleft( right) = frac + – – } right|}} right)}^2} + right)}^2}} }})
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Cho số phức (z) thỏa mãn điều kiện (left| right| = R > 0,left( } right| = R} right)). Tìm (},}). Ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là đường tròn tâm (Ileft( right)) bán kính (R)
(left{ begin} = OI + R = sqrt + } + R = left| } right| + R{left| z right|_} = left| right| = left| + } – R} right| = left| } right| – R} right|end right.)
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
Cho số phức (z) thỏa mãn điều kiện (left| right| + left| right| = 2a,,left( right)) Khi đó ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( right)) biểu diễn số phức (z) là Elip: (frac}}}} + frac}} – }} = 1)
(left{ begin} = a{left| z right|_} = sqrt – } end right.)