Biết (0 le x le 2018), số cắp (x,{rm{ }}y) nguyên thỏa mãn đẳng thứclà
DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
.Cho (x,{rm{ }}y)là các số thực thỏa mãn biểu thức ({log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y}(*)).
Biết (0 le x le 2018), số cắp (x,{rm{ }}y) nguyên thỏa mãn đẳng thứclà
A. (2).
B. (3).
C. (4).
D. (5).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
-Tự luận:
Ta có ({log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y} Leftrightarrow {2^{{{log }_2}(x + 1)}} + {log _2}(x + 1) = {2^{3y}} + 3y{rm{ (1)}})
Xét hàm số (f(t) = {2^t} + t)có (f'(t) = {2^t}ln 2 + 1 > 0,forall t in mathbb{R}).
Khi đó ((1) Leftrightarrow f({log _2}(x + 1)) = f(3y) Leftrightarrow {log _2}(x + 1) = 3y Leftrightarrow x = {2^{3y}} – 1)
Với (0 le x le 2018 Leftrightarrow 1 le {8^y} le 2019 Leftrightarrow 0 le y le {log _8}2019 approx 3,7.)
Vì (y in mathbb{Z} Rightarrow y in left{ {0;1;2;3} right}). Rõ ràng với (y)nguyên thì (x) nguyên.
Vậy có 4 cặp số (x,{rm{ y}}) nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
-Tư duy + C. asio:
+ Đặt ({8^y} = M to y = {log _8}M Rightarrow {log _2}(2x + 2) + x – 3{log _8}M – M)
+Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho (M = 100 to x = 99 = M – 1 = {8^y} – 1)
+Với (0 le x le 2018 Leftrightarrow 1 le {8^y} le 2019 Leftrightarrow 0 le y le {log _8}2019 approx 3,7.)
Vì (y in mathbb{Z} Rightarrow y in left{ {0;1;2;3} right}). Rõ ràng với (y)nguyên thì (x) nguyên.
Vậy có 4 cặp số (x,{rm{ y}}) nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========