Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (left( {x;y} right)) với (x le 2020) thỏa mãn điều kiện ({log _2}frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1).

({log _2}frac{{x + 2}}{{y + 1}} = 4{y^2} – {x^2} – 4x + 8y + 1 Leftrightarrow {log _2}left( {x + 2} right) – {log _2}left( {y + 1} right) = 4{left( {y + 1} right)^2} – {left( {x + 2} right)^2} + 1)

( Leftrightarrow {log _2}left( {x + 2} right) + {left( {x + 2} right)^2} = {log _2}2left( {y + 1} right) + {left[ {2left( {y + 1} right)} right]^2},,left( 1 right)).

Xét hàm số (fleft( t right) = {log _2}t + {t^2}) trên (left( {0; + infty } right)).

Ta có (f’left( t right) = frac{1}{{tln 2}} + 2t > 0,,forall t in left( {0; + infty } right) Rightarrow fleft( t right)) đồng biến trên (left( {0; + infty } right)).

(left( 1 right) Leftrightarrow fleft( {x + 2} right) = fleft( {2y + 2} right) Leftrightarrow x + 2 = 2y + 2 Leftrightarrow x = 2y).

Mà (0