DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của (y) thỏa mãn ({5^x} = {log _5}left( {x + y} right) + y.) Biết rằng (left| y right| le 2020.)
A. (2020).
B. (2019).
C. (1010).
D. (1018).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Điều kiện (x + y > 0.) Đặt ({log _5}left( {x + y} right) = t Leftrightarrow x + y = {5^t})
Khi đó (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{5^x} = t + y}\{{5^t} = x + y}end{array} Leftrightarrow {5^t} + t = {5^x} + x} right.)
Xét hàm số (fleft( u right) = {5^u} + u Rightarrow f’left( u right) = {5^u}.ln 5 + 1 > 0)
( Rightarrow ) Hàm số đồng biến với mọi (u in mathbb{R})
Ta có: (fleft( t right) = fleft( x right) Rightarrow t = x)
Khi đó: ({5^x} = x + y Leftrightarrow y = {5^x} – x)
Đặt (gleft( x right) = {5^x} – x Rightarrow g’left( x right) = {5^x}.ln 5 – 1 = 0 Leftrightarrow x = – {log _5}left( {ln 5} right))
(g’left( 0 right) = ln 5 – 1 > 0)
Để phương trình có nghiệm thì (y ge frac{1}{{ln 5}} + {log _5}left( {ln 5} right) approx 0,917)
Mà (left| y right| le 2020) nên có đúng (2020) giá trị nguyên của (y) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
– Tư duy + C. asio:
Đặt ({log _5}left( {x + y} right) = t Leftrightarrow x + y = {5^t} Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{5^x} = t + y}\{{5^t} = x + y}end{array} Leftrightarrow {5^t} + t = {5^x} + x} right.)
Áp dụng kỹ thuật CALC: Cho (x = 0.01 Rightarrow t = 0.01 = x Leftrightarrow x + y = {5^x} Leftrightarrow y = {5^x} – x.)
Ta lại có: (left| y right| le 2020 Leftrightarrow left| {{5^x} – x} right| le 2020.) Bấm đạo hàm tìm cực trị.
Để phương trình có nghiệm thì (y ge frac{1}{{ln 5}} + {log _5}left( {ln 5} right) approx 0,917)
Mà (left| y right| le 2020) nên có đúng (2020) giá trị nguyên của (y) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========