Có bao nhiêu số nguyên (aleft( age 2 right)) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn ({{left( {{a}^{log x}}+2 right)}^{log a}}=x-2?)

Ta có: ({{left( {{a}^{log x}}+2 right)}^{log a}}=x-2Leftrightarrow {{left( {{x}^{log a}}+2 right)}^{log a}}=x-2)

Đặt (b=log aLeftrightarrow a={{10}^{b}}.) Vì (age 2Rightarrow bge log 2>0.)

Phương trình đã cho trở thành:

({{left( {{x}^{b}}+2 right)}^{b}}=x-2Leftrightarrow {{left( {{x}^{b}}+2 right)}^{b}}+left( {{x}^{b}}+2 right)={{x}^{b}}+xleft( * right).)

Xét hàm số (fleft( t right)={{t}^{b}}+t) ta có (f’left( t right)=b{{t}^{b-1}}+1>0Rightarrow ) Hàm số (y=fleft( t right)) đồng biến trên (mathbb{R}.)

Do đó (left( * right)Leftrightarrow {{x}^{b}}+2=xLeftrightarrow {{x}^{log a}}=x-2left( ** right).)

Với (log age 1) ta có đồ thị hàm số như sau:

⇒ Phương trình (left( ** right)) vô nghiệm.

Với (log a

⇒ Phương trình (left( ** right)) có nghiệm ⇒ Thỏa mãn.

(Rightarrow log a

Vậy có 8 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.