Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) có không quá (10) số nguyên (x) thỏa mãn ({log ^2}x + left( {frac{1}{2} – y} right)log x – frac{y}{2} < 0)?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) có không quá (10) số nguyên (x) thỏa mãn ({log ^2}x + left( {frac{1}{2} – y} right)log x – frac{y}{2} < 0)?
A. (3).
B. (2).
C. (4).
D. (1).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện: (x > 0)
Đặt (t = log x), bất phương trình trở thành({t^2} + left( {frac{1}{2} – y} right)t – frac{y}{2} < 0).
Ta có ({t^2} + left( {frac{1}{2} – y} right)t – frac{y}{2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = y\t = frac{{ – 1}}{2}end{array} right.).
Do (y in {mathbb{N}^*}) nêncó nghiệm là (frac{{ – 1}}{2} < t < y).
Suy ra (frac{{ – 1}}{2} < log x < y Leftrightarrow {10^{frac{{ – 1}}{2}}} < x < {10^y})( Leftrightarrow frac{1}{{sqrt {10} }} < x < {10^y}).
Ứng với mỗi giá trị (y in {mathbb{N}^*}) có không quá 10 giá trị nguyên của (x in left( {frac{1}{{sqrt {10} }};{{10}^y}} right))
( Leftrightarrow {10^y} le 11 Leftrightarrow y le log 11).
Mà (y in {mathbb{N}^*} Rightarrow y = 1).
Vậy có 1 số nguyên dương (y) thỏa.