Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) thì bất phương trình(({3^x} + x{.3^x} + 9)({3^x} – y) < 0) có đúng 5 nghiệm nguyên dương (x)?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) thì bất phương trình(({3^x} + x{.3^x} + 9)({3^x} – y) < 0) có đúng 5 nghiệm nguyên dương (x)?
A. (244).
B. (243).
C. (486).
D. (242).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét (g(x) = {3^x} + x{.3^x} + 9); (g'(x) = {3^x}.ln 3 + {3^x} + x{.3^x}ln 3 = {3^x}left[ {ln 3 + 1 + xln 3} right])
(g'(x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{3^x} = 0\ln 3 + 1 + xln 3 = 0end{array} right. Leftrightarrow x = frac{{ – ln 3 – 1}}{{ln 3}})
BBT
Do (g(frac{{ – ln 3 – 1}}{{ln 3}}) = {3^{frac{{ – ln 3 – 1}}{{ln 3}}}} + (frac{{ – ln 3 – 1}}{{ln 3}}){.3^{frac{{ – ln 3 – 1}}{{ln 3}}}} + 9 > 0)
Từ (({3^x} + x{.3^x} + 9)({3^x} – y) < 0) do ({3^x} + x{.3^x} + 9 > 0quad forall x) nên suy ra ({3^x} < y) ( Leftrightarrow x < {log _3}y)
Để bất phương trình có đúng 5 nghiệm nguyên dương của (x)(left( {x in left{ {1;2;3;4;5} right}} right))thì ta cần
(begin{array}{l}5 < {log _3}y le 6 Leftrightarrow {3^5} < y le {3^6} Leftrightarrow 243 < y le 729left( {y in {mathbb{Z}^ * }} right)\ Rightarrow y in left{ {244;245;…;729} right}end{array})
Vậy có (729 – 244 + 1 = 486) số.