Có bao nhiêu số nguyên dương(y)để bất phương trình(left( {{5^x} – x + 2021} right)left( {{5^x} – y} right) < 0) có đúng 6nghiệm nguyên dương của (x)?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương(y)để bất phương trình(left( {{5^x} – x + 2021} right)left( {{5^x} – y} right) < 0) có đúng 6nghiệm nguyên dương của (x)?
A. (62499.)
B. (62500.)
C. (62503.)
D. (62505.)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét hàm số (fleft( x right) = {5^x} – x + 2021) với (x ge 1)
(f’left( x right) = {5^x}ln 5 – 1 > 0left( {forall x ge 1} right)). Hàmsố đồng biến trên (left[ {1; + infty } right)).
Do đó (forall x ge 1)( Rightarrow fleft( x right) ge fleft( 1 right) = 5 – 1 + 2021 > 0)
Khi đó bất phương trình:(left( {{5^x} – x + 2021} right)left( {{5^x} – y} right) < 0)
( Leftrightarrow {5^x} – y < 0 Leftrightarrow {5^x} < y Leftrightarrow x < {log _5}y).
Để bất phương trình có đúng 6 nghiệm nguyên dương của (x)(left( {x in left{ {1;2;3;4;5;6} right}} right))thì ta cần
(begin{array}{l}6 < {log _5}y le 7 Leftrightarrow {5^6} < y le {5^7} Leftrightarrow 15625 < y le 78125left( {y in {mathbb{Z}^ * }} right)\ Rightarrow y in left{ {15626;15627;…;78125} right}end{array})
Vậy có (78125 – 15626 + 1 = 62500) số.