Có bao nhiêu số nguyên (x) sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}})? – Sách Toán


DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên (x) sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}})?

A. (1). 

B. (2). 

C. (3). 

D. (4).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận

Ta có : ({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}})( Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1)( Leftrightarrow {y^2} – y =  – {x^2} – x + 1left( * right))

Cách 1 :

Yêu cầu bài toán ( Leftrightarrow )tìm (x in mathbb{Z}) đề phương trìnhcó nghiệm y dương.

Xét hàm số (fleft( y right) = {y^2} – y) trên (left( {0, + infty } right))

(f’left( y right) = 2y – 1,,,f’left( y right) = 0 Leftrightarrow y = frac{1}{2}.)

BBT :

Chart, line chart

Description automatically generated

Dựa vào BBT ta có :

Phương trìnhcó nghiệm y dương ( Leftrightarrow  – {x^2} – x + 1 ge  – frac{1}{4} Leftrightarrow frac{{ – 1 – sqrt 6 }}{2} le x le frac{{ – 1 + sqrt 6 }}{2})

Vì (x in mathbb{Z}) nên (x in left{ { – 1;0} right})

Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.

Cách 2 :

Yêu cầu bài toán được thoả 

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\{left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} = frac{3}{2}end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} + sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.,,,V,,left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} – sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.)

TH1 : 

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} + sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};frac{{ – 1 – sqrt 6 }}{2} le x le frac{{ – 1 + sqrt 6 }}{2}\y = frac{1}{2} + sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.)

Ta chọn (x in left{ { – 1;0} right})

TH2 : 

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} – sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};frac{{ – 1 – sqrt 6 }}{2} le x le frac{{ – 1 + sqrt 6 }}{2}\y = frac{1}{2} – sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} ;y > 0end{array} right.,,,)

không tồn tại (x in mathbb{Z}) để (y > 0)

Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.

Tư duy + C. asio + Mẹo

Vẫn như kỹ thuật ở trên – xử lý bảng đồng thời 2 giá trị x, y

Ta có : ({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}})( Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1)( Leftrightarrow {y^2} – y =  – {x^2} – x + 1).

Dò bảng đồng thời x, y

Vậy chỉ có hai số nguyên x tồn tại số thực dương y.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========



Link Hoc va de thi 2021

Chuyển đến thanh công cụ