DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên (x) sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}})?
A. (1).
B. (2).
C. (3).
D. (4).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận
Ta có : ({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}})( Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1)( Leftrightarrow {y^2} – y = – {x^2} – x + 1left( * right))
Cách 1 :
Yêu cầu bài toán ( Leftrightarrow )tìm (x in mathbb{Z}) đề phương trìnhcó nghiệm y dương.
Xét hàm số (fleft( y right) = {y^2} – y) trên (left( {0, + infty } right))
(f’left( y right) = 2y – 1,,,f’left( y right) = 0 Leftrightarrow y = frac{1}{2}.)
BBT :
Dựa vào BBT ta có :
Phương trìnhcó nghiệm y dương ( Leftrightarrow – {x^2} – x + 1 ge – frac{1}{4} Leftrightarrow frac{{ – 1 – sqrt 6 }}{2} le x le frac{{ – 1 + sqrt 6 }}{2})
Vì (x in mathbb{Z}) nên (x in left{ { – 1;0} right})
Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.
Cách 2 :
Yêu cầu bài toán được thoả
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\{left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} = frac{3}{2}end{array} right.)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} + sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.,,,V,,left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} – sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.)
TH1 :
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} + sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};frac{{ – 1 – sqrt 6 }}{2} le x le frac{{ – 1 + sqrt 6 }}{2}\y = frac{1}{2} + sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.)
Ta chọn (x in left{ { – 1;0} right})
TH2 :
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};y > 0\y = frac{1}{2} – sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} end{array} right.,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x in mathbb{Z};frac{{ – 1 – sqrt 6 }}{2} le x le frac{{ – 1 + sqrt 6 }}{2}\y = frac{1}{2} – sqrt {frac{3}{2} – {{left( {x + frac{1}{2}} right)}^2}} ;y > 0end{array} right.,,,)
không tồn tại (x in mathbb{Z}) để (y > 0)
Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.
Tư duy + C. asio + Mẹo
Vẫn như kỹ thuật ở trên – xử lý bảng đồng thời 2 giá trị x, y
Ta có : ({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}})( Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1)( Leftrightarrow {y^2} – y = – {x^2} – x + 1).
Dò bảng đồng thời x, y
Vậy chỉ có hai số nguyên x tồn tại số thực dương y.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========