DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên (x) sao cho tồn tại số thực (y) thỏa mãn biểu thức
({log _3}left( {x + sqrt 2 y} right) = {log _2}left( {{x^2} + {y^2}} right)).
A. (3).
B. (2).
C. (1).
D. Vô số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Điều kiện (x + sqrt 2 y > 0;{x^2} + {y^2} ne 0).
Đặt ({log _3}left( {x + sqrt 2 y} right) = {log _2}left( {{x^2} + {y^2}} right) = t)
Khi đó (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x + sqrt 2 y = {3^t}}\{{x^2} + {y^2} = {2^t}}end{array}} right.)
Vì ({left( {x + sqrt 2 y} right)^2} le 3left( {{x^2} + {y^2}} right) Rightarrow {9^t} le {3.2^t} Leftrightarrow {left( {frac{9}{2}} right)^t} le 3 Leftrightarrow t le {log _{frac{9}{2}}}3).
Như vậy ({x^2} + {y^2} = {2^t} Rightarrow {x^2} le {2^t} le {2^{{{log }_{frac{9}{2}}}3}} approx 1,65). Vì (x) nguyên nên ({x^2} in left{ {0;1} right}).
Với (x = 0) ta có hệ (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{{{3^t}}}{{sqrt 2 }}}\{{y^2} = {2^t}}end{array}} right.) suy ra (frac{{{9^t}}}{2} = {2^t} Leftrightarrow {left( {frac{9}{2}} right)^t} = 2 Leftrightarrow t = {log _{frac{9}{2}}}2 Rightarrow y = frac{{{3^{{{log }_{frac{9}{2}}}2}}}}{{sqrt 2 }} approx 1,17).
Với (x = 1) ta có phương trình ({log _3}left( {1 + sqrt 2 y} right) = {log _2}left( {1 + {y^2}} right))( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\{y approx 0,7686}end{array}} right.)
Với (x = – 1) ta có phương trình ({log _3}left( {sqrt 2 y – 1} right) – {log _2}left( {1 + {y^2}} right) = 0).
Xét hàm số (fleft( y right) = {log _3}left( {sqrt 2 y – 1} right) – {log _2}left( {1 + {y^2}} right)). Lập bảng biến thiên ta chứng minh được (max fleft( y right) approx fleft( {1,369} right) approx – 1,583 < 0) nên phương trình vô nghiệm.
Do đó ta chọn được (x in left{ {0;1} right}). Vậy có (2) giá trị (x) thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Tư duy + C. asio:
+ Ta có ({log _3}left( {x + sqrt 2 y} right) = {log _2}left( {{x^2} + {y^2}} right))
+ Ta đặt ({log _3}left( {x + sqrt 2 y} right) = {log _2}left( {{x^2} + {y^2}} right) = t). Suy ra (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x + sqrt 2 y = {3^t}}\{{x^2} + {y^2} = {2^t}}end{array}} right.)
+ Lượng giác hóa: Đặt (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = sqrt {{2^t}} .cos left( alpha right)}\{y = sqrt {{2^t}} .sin left( alpha right)}end{array}} right.;left( alpha right) in left( {0;2pi } right)).
+ Từ đó ta được (sqrt {{2^t}} .cos left( alpha right) + sqrt {{2^t}} .sin left( alpha right) = {3^t} Rightarrow cos left( alpha right) + sin left( alpha right) = frac{{{3^t}}}{{sqrt {{2^t}} }} = {left( {frac{3}{{sqrt 2 }}} right)^t}).
( Rightarrow t = {log _{frac{3}{{sqrt 2 }}}}left( {cos left( alpha right) + sin left( alpha right)} right)).
+ Ta có (x = sqrt {{5^t}} .cos left( alpha right) = sqrt {{5^{{{log }_{frac{3}{{sqrt 2 }}}}left( {cos left( alpha right) + sin left( alpha right)} right)}}} .cos left( alpha right))
Vậy có (2) giá trị (x) thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========