Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên (y) sao cho tồn tại (x in left( {frac{1}{2} ; 5} right)) thỏa mãn ({8^{2{x^2} + xy}} = left( {1 + xy} right){.8^{4x}})?
A. 7.
B.
C. 6.
D. 5.
GY:
({8^{2{x^2} + xy}} = left( {1 + xy} right){.8^{4x}} Leftrightarrow {8^{2{x^2} + xy – 4x}} – left( {1 + xy} right) = 0)
Xét hàm số (fleft( x right) = {8^{2{x^2} + xy – 4x}} – left( {1 + xy} right))
Áp dụng BĐT ({a^x} > xleft( {a – 1} right) + 1) ta có
(fleft( x right) = {8^{2{x^2} + xy – 4x}} – left( {1 + xy} right) > 7left( {2{x^2} + xy – 4x} right) + 1 – left( {1 + xy} right))( = 14{x^2} + 2xleft( {3y – 14} right) > 0 , forall y ge 5)
Do đó (y le 4)
Với (y le – 2 Rightarrow xy < – 1 Rightarrow fleft( x right) > 0)
Với (y = – 1 Rightarrow fleft( x right) = {8^{2{x^2} – 5x}} + x – 1 )
Ta có (fleft( 5 right) > 0 ; fleft( {frac{1}{2}} right) < 0)( Rightarrow fleft( x right) = 0 )có nghiệm (x in left( {frac{1}{2};5} right)) ( Rightarrow y = 1) thỏa mãn
Với (y = 0 Rightarrow {8^{2{x^2}}} = {8^{4x}} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = 2 left( {{rm{TM}}} right)end{array} right.) ( Rightarrow y = 0) thỏa mãn
Với (y > 0 )có (fleft( 5 right) = {8^{5y + 30}} – left( {1 + 5y} right) > 0 , forall y > 0)
(fleft( {frac{1}{2}} right) = {8^{frac{y}{2} – frac{3}{2}}} – left( {1 + frac{y}{2}} right) < 0 , forall y = left{ {1 ; 2 ; 3 ; 4} right})
( Rightarrow fleft( x right) = 0 )có nghiệm (x in left( {frac{1}{2} ; 5} right))
Vậy (y = left{ { – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } right}).
=======