DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức Z thoả mãn ((1 – 3i)z) là số thuần ảo và (z^2=(1+i)|z|-2(1-i))?
A.(4).
B. (2).
C. (3).
D. (0).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi (z = a + bi) với (a,b in mathbb{R}).
+ Ta có ((1 – 3i)z = left( {1 – 3i} right)left( {a + bi} right) = left( {a + 3b} right) + left( {b – 3{rm{a}}} right)i).
Do đó ((1 – 3i)z) là số thuần ảo ( Leftrightarrow a + 3b = 0 Leftrightarrow a = – 3bleft( 1 right))
+ Ta có (z^2=(1+i)|z|-2(1-i)) ( Leftrightarrow z^2=|z|+i|z|-2+2i => z^2=|z|-2+(|z|+2)i )
Lấy môđun hai vế, ta được (left| {{z^2}} right| = sqrt {{{left( {left| z right| – 2} right)}^2} + {{left( {left| z right| + 2} right)}^2}} )
Do (|z|^2=|z^2|) nên khi đặt (t=|z|^3) ta được ({t^2} = sqrt {{{left( {t – 2} right)}^2} + {{left( {t + 2} right)}^2}} )
( Leftrightarrow {t^4} = {t^2} – 4t + 4 + {t^2} + 4t + 4 Leftrightarrow {t^4} – 2{t^2} – 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{t^2} = – 2\{t^2} = 4end{array} right.)
( Rightarrow left| z right| = 2 Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4left( 2 right)).
Từ,ta có (left{ begin{array}{l}a = – 3b\{a^2} + {b^2} = 4end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}a = – frac{{3sqrt {10} }}{5}\b = frac{{sqrt {10} }}{5}end{array} right.\left{ begin{array}{l}a = frac{{3sqrt {10} }}{5}\b = frac{{ – sqrt {10} }}{5}end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}z = – frac{{3sqrt {10} }}{5} + frac{{sqrt {10} }}{5}.i\z = frac{{3sqrt {10} }}{5} – frac{{sqrt {10} }}{5}.iend{array} right.).
Thử lại, với (z = – frac{{3sqrt {10} }}{5} + frac{{sqrt {10} }}{5}.i) thì ({z^2} = frac{2}{5}left( {8 – 6i} right)) và (left| z right| = 2).
Khi đó (left( {1 + i} right)left| z right| – 2left( {1 – i} right) = 2left( {1 + i} right) – 2left( {1 – i} right) = 4i) không thỏa mãn.
Với (z = frac{{3sqrt {10} }}{5} – frac{{sqrt {10} }}{5}.i) thì ({z^2} = frac{2}{5}left( {8 – 6i} right)) và (left| z right| = 2).
Khi đó (left( {1 + i} right)left| z right| – 2left( {1 – i} right) = 2left( {1 + i} right) – 2left( {1 – i} right) = 4i) không thỏa mãn.
Vậy không có số phức nào thỏa mãn bài toán.