DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Tổng phần ảo của tất cả các số phức (z) thỏa mãn (left| {z – 4 – 6i} right| = 5) và (frac{{bar z + 3i}}{{bar z – 1 + i}} in mathbb{R}) bằng
A.(frac{{11}}{5}).
B. (frac{{23}}{5}).
C. ( – frac{4}{5}).
D. (frac{{38}}{5}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử (z = a + bi) với (a,,,b in mathbb{R}), điều kiện : ({left( {a – 1} right)^2} + {left( { – b + 1} right)^2} ne 0,,left( * right)).
▪ Ta có (left| {z – 4 – 6i} right| = 5 Leftrightarrow left| {a + bi – 4 – 6i} right| = 5 Leftrightarrow left| {left( {a – 4} right) + left( {b – 6} right)i} right| = 5).
( Leftrightarrow sqrt {{{left( {a – 4} right)}^2} + {{left( {b – 6} right)}^2}} = 5 Leftrightarrow {left( {a – 4} right)^2} + {left( {b – 6} right)^2} = 25,,left( 1 right).)
▪ Ta có (frac{{bar z + 3i}}{{bar z – 1 + i}} = frac{{a + left( { – b + 3} right)i}}{{left( {a – 1} right) + left( { – b + 1} right)i}} = frac{{{a^2} + {b^2} – a – 4b + 3}}{{{a^2} + {b^2} – 2a – 2b + 2}} + frac{{2a + b – 3}}{{{a^2} + {b^2} – 2a – 2b + 2}}.i)
Vì (frac{{bar z + 3i}}{{bar z – 1 + i}}) là số thực nên ta có (2a + b – 3 = 0 Leftrightarrow b = 3 – 2a,,left( 2 right)).
▪ Thay (left( 2 right)) vào (left( 1 right)) ta được: ({left( {a – 4} right)^2} + {left( { – 2a – 3} right)^2} = 25 Leftrightarrow 5{a^2} + 4a = 0.)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}a = 0 Rightarrow b = 3\a = – frac{4}{5} Rightarrow b = frac{{23}}{5}end{array} right.).
Các số phức (z) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ({z_1} = 3i;,,{z_2} = – frac{4}{5} + frac{{23}}{5}i).
Vậy tổng phần ảo của tất cả các số phức (z) thỏa mãn là: (3 + frac{{23}}{5} = frac{{38}}{5}.)