Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực (left( x;y;z right)) thỏa mãn

Hệ phương trình đã cho tương đương

(left{ begin{array}{l}
{2^{sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.4^{sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.16^{sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128\
{left( {x{y^2} + {z^4}} right)^2} – {left( {x{y^2} – {z^4}} right)^2} = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sqrt[3]{{{x^2}}} + 2sqrt[3]{{{y^2}}} + 4sqrt[3]{{{z^2}}} = 7\
x{y^2}{z^4} = 1
end{array} right.)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có

(7=sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4sqrt[3]{{{z}^{2}}})

(=sqrt[3]{{{x}^{2}}}+sqrt[3]{{{y}^{2}}}+sqrt[3]{{{y}^{2}}}+sqrt[3]{{{z}^{2}}}+sqrt[3]{{{z}^{2}}}+sqrt[3]{{{z}^{2}}})

(ge 7sqrt[7]{sqrt[3]{{{x}^{2}}}.{{left( sqrt[3]{{{y}^{2}}} right)}^{2}}.{{left( sqrt[3]{{{z}^{2}}} right)}^{4}}})

(=7sqrt[21]{{{left( x{{y}^{2}}{{z}^{4}} right)}^{2}}})

=7

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương (left{ begin{array}{l}
{x^2} = {y^2} = {z^2}\
x{y^2}{z^4} = 1
end{array} right..)

Dễ thấy x>0 và từ phương trình thứ hai ta có ({{x}^{7}}=1) hay x=1. Suy ra (y=pm 1,z=pm 1.)

Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là (left( 1;1;1 right),left( 1;1;-1 right),left( 1;-1;-1 right),left( 1;-1;1 right).)