Có tất cả bao nhiêu số nguyên (x) sao cho với mọi số thực (y) luôn thỏa mãn ({log _4}{left( {8 + {y^2}} right)^2} – {log _5}frac{x}{{390625}} ge {x^{{{log }_5}2}} – {y^2})
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có tất cả bao nhiêu số nguyên (x) sao cho với mọi số thực (y) luôn thỏa mãn ({log _4}{left( {8 + {y^2}} right)^2} – {log _5}frac{x}{{390625}} ge {x^{{{log }_5}2}} – {y^2})
A. (125).
B. (124).
C. (243).
D. Vô số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện (x > 0).
Khi đó ta có ({log _4}{left( {8 + {y^2}} right)^2} + {y^2} ge {log _5}frac{x}{{390625}} + {x^{{{log }_5}2}}).
( Leftrightarrow {log _2}left( {8 + {y^2}} right) + {y^2} ge {log _5}x – 8 + {x^{{{log }_5}2}}).
( Leftrightarrow {log _2}left( {8 + {y^2}} right) + {y^2} + 8 ge {log _5}x + {2^{{{log }_5}x}}).
( Leftrightarrow {log _2}left( {8 + {y^2}} right) + {2^{{{log }_2}left( {8 + {y^2}} right)}} ge {log _5}x + {2^{{{log }_5}x}}).
Xét hàm số (fleft( t right) = t + {2^t},,,t in mathbb{R}) suy ra (fleft( {{{log }_2}left( {8 + {y^2}} right)} right) ge fleft( {{{log }_5}x} right)).
Ta có (f’left( t right) = 1 + {2^t}.ln 2 > 0,,forall t in mathbb{R}).
Suy ra (fleft( {{{log }_2}left( {8 + {y^2}} right)} right) ge fleft( {{{log }_5}x} right) Leftrightarrow {log _2}left( {8 + {y^2}} right) ge {log _5}x).
Ta lại có ({log _2}left( {8 + {y^2}} right) ge {log _2}8 = 3,forall y in mathbb{R}) suy ra ({log _5}x le 3 Leftrightarrow x le 125).
Vậy ta được (1 le x le 125) suy ra có (125) giá trị nguyên của (x) thì bài toán thỏa mãn.