Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = xleft( {2017 + sqrt {2019 – {x^2}} } right)) trên tập xác định của nó. Tính M – m.

TXĐ: (D = left[ { – sqrt {2019} ;sqrt {2019} } right])

Ta có (y’ = 2017 + sqrt {2019 – {x^2}} – frac{{{x^2}}}{{sqrt {2019 – {x^2}} }})

( Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 2017 + sqrt {2019 – {x^2}} – frac{{{x^2}}}{{sqrt {2019 – {x^2}} }} = 0 Leftrightarrow frac{{2017sqrt {2019 – {x^2}} + 2019 – 2{x^2}}}{{sqrt {2019 – {x^2}} }} = 0)

Trên D, đặt (t = sqrt {2019 – {x^2}} , t ge 0). Ta được:

(2{t^2} + 2017t – 2019 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1\t = – frac{{2019}}{2}end{array} right. Rightarrow sqrt {2019 – {x^2}} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – sqrt {2018} \x = sqrt {2018} end{array} right.)

Khi đó (fleft( { – sqrt {2018} } right) = – 2018sqrt {2018} ; fleft( {sqrt {2018} } right) = 2018sqrt {2018})

(fleft( { – sqrt {2019} } right) = – 2017sqrt {2019} ; fleft( {sqrt {2019} } right) = 2017sqrt {2019} )

Suy ra (m = mathop {min y}limits_D = – 2018sqrt {2018} , M = mathop {max y}limits_D = 2018sqrt {2018} )

Vậy (M – m = 4036sqrt {2018} .)