Số nghiệm nguyên của bất phương trình ({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0) là
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Số nghiệm nguyên của bất phương trình ({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0) là
A. (6).
B. (3).
C. (5).
D. (4).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có ({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0).
( Leftrightarrow {2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + 2{x^2} – 15x + 100 – left( {{x^2} + 10x – 50} right) < 0).
Đặt (a = 2{x^2} – 15x + 100), (b = {x^2} + 10x – 50).
Khi đó bất phương trình trở thành: ({2^a} – {2^b} + a – b < 0) ( Leftrightarrow – {2^a} – a > – {2^b} – b)(left( 1 right)).
Xét hàm số (fleft( t right) = – {2^t} – t) có (f’left( t right) = – {2^t}ln 2 – 1 < 0) với (forall t in mathbb{R}).
Suy ra (fleft( t right)) nghịch biến trên (mathbb{R}).
Bất phương trình (left( 1 right)) ( Leftrightarrow a < b) ( Leftrightarrow 2{x^2} – 15x + 100 < {x^2} + 10x – 50) ( Leftrightarrow {x^2} – 25x + 150 < 0).
( Leftrightarrow 10 < x < 15).
Mà (x in mathbb{Z}) nên (x in left{ {11;12;13;14} right}).
Vậy bất phương trình có (4) nghiệm nguyên.