Tìm các giá trị thực của tham số (m) để phương trình (sqrt{2-x}+sqrt{1+x}=sqrt{m+x-{{x}^{2}}}) có hai nghiệm phân biệt.

(sqrt{2-x}+sqrt{1+x}=sqrt{m+x-{{x}^{2}}}left( 1 right))

Điều kiện: (-1le xle 2.)

Phương trình trở thành: (2-x+1+x+2sqrt{2+x-{{x}^{2}}}=m+x-{{x}^{2}}.)

(Leftrightarrow 2sqrt{2+x-{{x}^{2}}}=left( 2+x-{{x}^{2}} right)+m-5)

Đặt (t=sqrt{2+x-{{x}^{2}}}.)

Xét hàm số (fleft( x right)=2+x-{{x}^{2}}) trên (left[ -1;2 right].)

(f’left( x right)=-2x+1.)

(f’left( x right)=0Leftrightarrow x=frac{1}{2}Rightarrow y=frac{9}{4}.)

Bảng biến thiên:

Vậy (tin left[ 0;frac{3}{2} right].)

Phương trình trở thành:

(m=-{{t}^{2}}+2t+5left( 2 right)) với (tin left[ 0;frac{3}{2} right].)

Xét hàm số (gleft( x right)=-{{t}^{2}}+2t+5.)

(g’left( t right)=-2t+2.)

(g’left( t right)=0Leftrightarrow t=1Rightarrow fleft( 1 right)=6.)

(gleft( 0 right)=5;gleft( frac{3}{2} right)=frac{23}{4}.)

Bảng biến thiên:

Cứ 1 nghiệm (tin left[ 0;frac{3}{2} right)) thì tồn tại 2 nghiệm (xin left[ -1;2 right].)

Vậy để phương trình (left( 1 right)) có 2 nghiệm phân biệt (Leftrightarrow ) phương trình (left( 2 right)) có 1 nghiệm (tin left[ 0;frac{3}{2} right).)

Dựa vào bảng biến thiên ta có (min left[ 5;frac{23}{4} right)cup left{ 6 right}.)