Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số (y = {2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}) đồng biến trên (left( {1;2} right)).

Ta có: (y’ = left( {3{x^2} – 2x + m} right){.2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}.ln 2)

Hàm số đồng biến trên (left( {1;2} right) Leftrightarrow y’ ge 0, forall x in left( {1;2} right))

( Leftrightarrow left( {3{x^2} – 2x + m} right){.2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}.ln 2 ge 0, forall x in left( {1;2} right))

( Leftrightarrow 3{x^2} – 2x + m ge 0, forall x in left( {1;2} right))

( Leftrightarrow m ge – 3{x^2} + 2x, forall x in left( {1;2} right))

( Leftrightarrow m ge mathop {max}limits_{left( {1;2} right)} left( { – 3{x^2} + 2x} right)).

Xét hàm số (fleft( x right) = – 3{x^2} + 2x), với (x in left( {1;2} right)).

Ta có: (f’left( x right) = – 6x + 2).

Cho (f’left( x right) = 0 Leftrightarrow – 6x + 2 = 0 Leftrightarrow x = frac{1}{3}).

Bảng biến thiên:

Vậy (m ge – 1) thỏa yêu cầu bài toán.