Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm (Aleft( 2;1;3 right)) và mặt phẳg (left( P right):x+my+left( 2m+1 rig

(dleft( {A,left( P right)} right) = frac{{left| {2 + m + 3left( {2m + 1} right) – m – 2} right|}}{{sqrt {{1^2} + {m^2} + {{left( {2m + 1} right)}^2}} }} = frac{{3left| {2m + 1} right|}}{{sqrt {1 + {m^2} + {{left( {2m + 1} right)}^2}} }})

Vì (1+{{m}^{2}}ge frac{1}{5}{{left( 2m+1 right)}^{2}}, forall min mathbb{R}) nên (dleft( A,left( P right) right)le frac{3left| 2m+1 right|}{sqrt{frac{1}{5}{{left( 2m+1 right)}^{2}}+{{left( 2m+1 right)}^{2}}}}=frac{sqrt{30}}{2})

Suy ra, khoảng cách từ điểm A đến (left( P right)] là lớn nhất khi và chỉ khi m=2.

Khi đó: (left( P right):x+2y+5z-4=0; AH:left{ begin{array}{*{35}{l}}

x=2+t \

y=1+2t \

z=3+5t \

end{array} right.)

(H=dcap left( P right)Rightarrow 2+t+2left( 1+2t right)+5left( 3+5t right)-4=0Leftrightarrow t=-frac{1}{2}Rightarrow Hleft( frac{3}{2};0;frac{1}{2} right)).

Vậy (a=frac{3}{2}, b=0Rightarrow a+b=frac{3}{2}).