■Bài 6: Dãy số bằng nhau

1.1. Khái niệm

Những tỉ số bằng nhau và được viết nối với nhau bởi các dấu đẳng thức tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chú ý:

+ Với dãy tỉ số bằng nhau (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g}), ta cÅ©ng có thể viết a : b = c : d = e : g 

+ Khi có dãy tỉ số bằng nhau (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g}), ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

Ví dụ: (frac{{ – 2}}{5} = frac{6}{{ – 15}} = frac{{0,5}}{{ – 1,25}} = frac{{ – 4}}{{10}})

1.2. Tính chất

Từ tỉ lệ thức (frac{a}{b} = frac{c}{d}), ta suy ra: (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{{a + c}}{{b + d}} = frac{{a – c}}{{b – d}}(b ne d;b ne  – d))

Nhận xét:

Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn, từ dãy tỉ số bằng nhau (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g}), ta suy ra:

(frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g} = frac{{a + c + e}}{{b + d + g}} = frac{{a – c + e}}{{b – d + g}}) (giả thiết các tỉ số đều có nghÄ©a).

Ví dụ: Tìm hai số x, y, biết: (frac{x}{3} = frac{y}{7}) và x + y = 20.

Giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: (frac{x}{3} = frac{y}{7} = frac{{x + y}}{{3 + 7}} = frac{{20}}{{10}} = 2)

Vậy x = 3 . 2 = 6; y = 7 . 2 = 14.

1.3. Ứng dụng

Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn, ứng dụng vào bài toán chia một đại lượng cho trước thành các phân theo tỉ lệ cho trước.

Ví dụ 1: Một công ty chỉ 168 triệu đồng để thưởng cuối năm cho nhân viên ở ba tổ. Số tiền thưởng của ba tổ tỉ lệ với ba số 3; 5; 6. Tính số tiền thưởng của mỗi tổ.

Giải

Gọi số tiên thưởng của mỗi tổ lần lượt là x (triệu đồng), y (triệu đồng), z (triệu đồng).

Tacó: (frac{x}{3} = frac{y}{5} = frac{z}{6} = frac{{x + y + z}}{{3 + 5 + 6}}) và (x + y + z = 168.)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

(frac{x}{3} = frac{y}{5} = frac{z}{6} = frac{{x + y + z}}{{3 + 5 + 6}} = frac{{168}}{{14}} = 12.)

Suy ra: x = 3. 12 = 36 (triệu đồng); y= 5 . 12= 60 (triệu đồng); s = 6. 12 = 72 (triệu đồng).

Vậy số tiền thưởng của mỗi tổ lần lượt là: 36 triệu đồng, 60 triệu đồng, 72 triệu đồng.

Ví dụ 2: Ba máy bÆ¡m cùng bÆ¡m nước vào một bể bÆ¡i không có nước, có dạng hình hộp chữ nhật, với các kích thước bể là 12 m; 10 m; 1,2 m. Lượng nước mà ba máy bÆ¡m được tỉ lệ với 3 số 7;8;9. Mỗi máy cần bÆ¡m bao nhiêu mét khối nước để đầy bể bÆ¡i?

Lời giải

Thể tích bể bơi là:

V = 12.10.1,2 = 144 (m3)

Gọi lượng nước mà mỗi máy cần bơm lần lượt là: x,y,z (m3) (x,y,z > 0) thì tổng lượng nước 3 máy cần bơm là: x + y + z = 144

Vì lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7;8;9 nên (frac{x}{7} = frac{y}{8} = frac{z}{9})

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

(frac{x}{7} = frac{y}{8} = frac{z}{9} = frac{{x + y + z}}{{7 + 8 + 9}} = frac{{144}}{{24}} = 6)

( Rightarrow x = 7.6 = 42;y = 8.6 = 48;z = 9.6 = 54)(thỏa mãn)

Vậy lượng nước mà mỗi máy cần bÆ¡m lần lượt là: 42 m3; 48 m3 và 54 m3