7 Dạng bài tập cực trị số phức thường gặp trong kì thi THPT quốc gia có đáp án
@ Dạng 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$. Tìm số phức thỏa mãn $left| z-{{z}_{0}} right|$nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt $M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}})$là các điểm biểu diễn số phức $z;,,{{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực ∆ của AB.
Gọi $N({{z}_{0}})$là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{0}}$
Ta có $MN=left| z-{{z}_{0}} right|$nhỏ nhất khi $M{{N}_{min }}$ khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d và $M{{N}_{min }}=d(N;Delta )$
| Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-4-i right|=left| z+i right|$. Gọi $z=a+bi,,(a;bin mathbb{R})$ là số phức thỏa mãn $left| z-1+3i right|$ nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức $T=2a+3b$là:
A. $-4$ B. 4 C. 0 D. 1 |
Lời giải chi tiết
Đặt $M(z);,,A(4;1),,,B(0;-1)$ là các điểm biểu diễn số phức $z;,,4+i$ và $-i$. Khi đó từ giả thiết suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực của AB đi qua $I(2;0)$ và có VTPT là $overrightarrow{n}=overrightarrow{AB}(-4;-2)Rightarrow Delta :2x+y-4=0$
Gọi $N(1;-3)$là điểm biểu diễn số phức $1-3i$
Ta có $left| z-1+3i right|$ nhỏ nhất khi $M{{N}_{min }}$ khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra $MN:x-2y+1=0$
Giải hệ $left{ begin{array} {} 2x+y-4=0 \ {} x-2y-7=0 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} x=3 \ {} y=-2 \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 3;-2 right)Rightarrow z=3-2iRightarrow 2a+3b=0$. Chọn C.
| Bài tập 2: Cho các số phức $z$ thỏa mãn $left| z-2i right|=left| z+2 right|$. Gọi $z$ là số phức thỏa mãn $left| (2-i)z+5 right|$nhỏ nhất. Khi đó :
A. $0<left| z right|<1$ B. $1<left| z right|<2$ C. $2<left| z right|<3$ D. $left| z right|>3$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M(x;y);A(0;2),B(-2;0)$là các điểm biểu diễn số phức $z;,,2i$ và $-2$.
Từ giả thiết $Rightarrow $$MA=MBRightarrow Min $trung trực của AB có phương trình $Delta :x+y=0$
Lại có: $P=left| (2-i)z+5 right|=left| 2-i right|left| z+frac{5}{2-i} right|=sqrt{5}left| z+2+i right|$, gọi $N(-2;-1)$là điểm biểu diễn số phức $-2-i$ suy ra $P=sqrt{5}MN$
Ta có P nhỏ nhất khi $M{{N}_{min }}$ khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra phương trình $MN:x-y+1=0$
Giải hệ $left{ begin{array} {} x+y=0 \ {} x-y+1=0 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} x=frac{-1}{2} \ {} y=frac{1}{2} \ end{array} right.Rightarrow Mleft( frac{-1}{2};frac{1}{2} right)Rightarrow z=frac{-1}{2}+frac{1}{2}iRightarrow left| z right|=frac{sqrt{2}}{2}$. Chọn A.
@ Dạng 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn$left| z-{{z}_{0}} right|=R$. Tìm số phức thỏa mãn $P=left| z-{{z}_{1}} right|$đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt $M(z);I({{z}_{0}});E({{z}_{1}})$ là các điểm biểu diễn số phức $z;,,{{z}_{0}}$ và ${{z}_{1}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{0}} right|=RLeftrightarrow MI=R$ $Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm I bán kính R. Ta có: $P=ME$ lớn nhất $Leftrightarrow M{{E}_{max}}$và P nhỏ nhất $Leftrightarrow M{{E}_{min }}$. Khi đó:
${{P}_{max}}=IE+RLeftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$và ${{P}_{min }}=left| IE-R right|Leftrightarrow Mequiv {{M}_{1}}$
(Điểm E có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn).
| Bài tập 1: Cho số phức $z$thỏa mãn $left| iz-3+2i right|=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=left| z-1-i right|$
A. ${{P}_{min }}=3$ B.${{P}_{min }}=sqrt{13}-3$ C. ${{P}_{min }}=2$ D. ${{P}_{min }}=sqrt{10}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left| iz-3+2i right|=3Leftrightarrow left| i right|left| z-frac{3}{i}+2 right|=3Leftrightarrow left| z+2+3i right|=3Rightarrow $ tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z$là đường tròn tâm $I(-2;-3)$ bán kính $R=3$
Gọi $E(1;1)$ là điểm biểu diễn số phức $1+iRightarrow P=MERightarrow {{P}_{min }}=left| EI-R right|=2$
| Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z+2-i right|=sqrt{5}$. Gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ lần lượt là 2 số phức làm cho biểu thức $P=left| z-2-3i right|$ đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Tính $T=3left| {{z}_{1}} right|+2left| {{z}_{2}} right|$
A. $T=20$ B. $T=6$ C. $T=14$ D. $T=24$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left| z+2-i right|=sqrt{5}Rightarrow $tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(-2;1)$ bán kính $R=sqrt{5}$. Gọi $E(2;3)Rightarrow P=ME$
Phương trình đường thẳng $IE:x-2y+4=0$
Dựa vào hình vẽ ta có ${{P}_{max}}=IE+RLeftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$
Giải hệ $left{ begin{array} {} x-2y+4=0 \ {} {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=5 \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} {{M}_{2}}(-4;0)Rightarrow {{P}_{min }}=3sqrt{5} \ {} {{M}_{1}}(0;2)Rightarrow {{P}_{min }}=sqrt{5} \ end{array} right.$.
Do đó $T=3left| {{z}_{1}} right|+2left| {{z}_{2}} right|=3.2+2.4=14$. Chọn C.
@ Dạng 3: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$. Tìm số phức thỏa mãn $P=left| z-{{z}_{3}} right|+left| z-{{z}_{4}} right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt $M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}});H({{z}_{3}});K({{z}_{4}})$ là các điểm biểu diễn số phức $z;{{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$và ${{z}_{4}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$ suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực ∆ của AB; $P=left| z-{{z}_{3}} right|+left| z-{{z}_{4}} right|=MH+MK$
TH1: H, K nằm khác phía so với đường thẳng ∆
Ta có: $P=MH+MKge HK$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow Mequiv {{M}_{o}}=HKcap (Delta )$
Khi đó ${{P}_{min }}=HK$
TH2: H, K nằm cùng phía so với đường thẳng ∆
Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆
Khi đó: $P=MH+MK=MH’+MKge H’K$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow Mequiv {{M}_{o}}=H’Kcap (Delta )$
Khi đó ${{P}_{min }}=H’K$
| Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-1+2i right|=left| z+3-2i right|$. Gọi $z=a+bi$$(a;bin mathbb{R})$ sao cho
$P=left| z-2-4i right|+left| z+1-i right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a+b$ là: A. 3 B. 5 C. 8 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Đặt $M(z);A(1;-2),B(-3;2)$ tử giả thiết suy ra $MA=MB$ nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình $Delta :x-y+1=0$, gọi $H(2;4)$và $K(-1;1)$ là các điểm biểu diễn số phức $2+4i$ và $-1+i$
Ta có $P=MH+MK$và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆
Gọi H’ là điểm đối xứng của $Delta :x-y+1=0$
Ta có: $HH’:x+y-6=0$tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ phương trình $left{ begin{array} {} x-y+1=0 \ {} x+y-6=0 \ end{array} right.Rightarrow Ileft( frac{5}{2};frac{7}{2} right)$
Suy ra $H'(3;3)$
Lại có: $P=MH+MK=MH’+MKge H’K$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow M=H’Kcap d$. Phương trình đường thẳng H’K là: $H’K:x-2y+3=0$
Suy ra ${{M}_{0}}=H’Kcap Delta Rightarrow {{M}_{o}}(1;2)Rightarrow z=1+2i$. Khi đó ${{P}_{min }}=H’K=2sqrt{5}$. Chọn A.
| Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-2+4i right|=left| iz-2 right|$. Gọi $z=a+bi$$(a;bin mathbb{R})$ sao cho
$P=left| z-i right|+left| z+1+3i right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đấy bằng A. $sqrt{53}$ B. $sqrt{37}$ C. 4 D. $sqrt{41}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có:$left| z-2+4i right|=left| iz-2 right|Leftrightarrow left| z-2+4i right|=left| i right|left| z-frac{2}{i} right|=left| z+2i right|$
Gọi $M(z);A(2;-4),B(0;-2)$từ giả thiết suy ra $MA=MB$ nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình $Delta :x-y-4=0$, gọi $H(0;1)$và $K(-1;-3)$là các điểm biểu diễn số phức $i$và $-1-3i$
Ta có: $P=MH+MK$và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆
Gọi H’ là điểm đối xứng của $Delta :x-y-5=0$
Ta có: $HH’:x+y-1=0$ tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ phương trình $left{ begin{array} {} x-y-4=0 \ {} x+y-1=0 \ end{array} right.Rightarrow Ileft( frac{5}{2};-frac{3}{2} right)$
Suy ra $H'(5;-4)$
Lại có: $P=MH+MK=MH’+MKge H’K=sqrt{37}$. Chọn B.
@ Dạng 4: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{1}} right|=left| z-{{z}_{2}} right|$. Tìm số phức thỏa mãn $P={{left| z-{{z}_{3}} right|}^{2}}+{{left| z-{{z}_{4}} right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt x$M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}});H({{z}_{3}});K({{z}_{4}})$ là các điểm biểu diễn số phức $z;{{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ và ${{z}_{4}}$. Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{1}} right|equiv left| z-{{z}_{2}} right|$ suy ra $MA=MB$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực ∆ của AB; $P={{left| z-{{z}_{3}} right|}^{2}}+{{left| z-{{z}_{4}} right|}^{2}}=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}$
Gọi I là trung điểm của$HKRightarrow M{{I}^{2}}=frac{M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}}{2}-frac{H{{K}^{2}}}{4}Rightarrow P=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=2M{{I}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}$
nhỏ nhất khi $M{{I}_{min }}Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của I xuống$Delta $.
| Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z+2-4i right|=left| z-2i right|$. Gọi z là số phức thoả mãn biểu thức $P={{left| z-i right|}^{2}}+{{left| z-4+i right|}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất. Tính${{left| z right|}^{2}}$.
A. ${{left| z right|}^{2}}=12$ B. ${{left| z right|}^{2}}=10$ C. ${{left| z right|}^{2}}=2$ D. ${{left| z right|}^{2}}=5$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M(z);A(-2;4),B(0;2)$ là các điểm biểu diễn số phức$z;-2+4i$ và $2i$
Khi đó $left| z+2-4i right|=left| z-2i right|Leftrightarrow MA=MBRightarrow M$thuộc trung trực của AB có phương trình$Delta :x-y+4=0$
Gọi$Hleft( 0;1 right),Kleft( 4;-1 right)Rightarrow P=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=2M{{I}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}$
(với $Ileft( 2;0 right)$ là trung điểm của HK)
Do đó${{P}_{min }}Leftrightarrow M{{E}_{min }}$ hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống$Delta $, khi đó
$IM:x+y-2=0Rightarrow M=IMcap Delta Rightarrow Mleft( -1;3 right)Rightarrow {{left| z right|}^{2}}=O{{M}^{2}}=10$. Chọn B.
| Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-1+3i right|=left| z+2+i right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P={{left| z-2+4i right|}^{2}}+{{left| z+2i right|}^{2}}$ là: A. ${{P}_{min }}=8$ B. ${{P}_{min }}=9$ C. ${{P}_{min }}=16$ D. ${{P}_{min }}=25$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M(z);A(1;-3),B(-1;-1)$ là các điểm biểu diễn số phức$z;,,1+3i$ và $-1-i$
Khi đó$left| z-1+3i right|=left| z+1+i right|Leftrightarrow MA=MBRightarrow M$thuộc trung trực của AB có phương trình$Delta :x-y-2=0$
Gọi$Hleft( 2;-4 right),Kleft( 0;-2 right)Rightarrow P=M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=2M{{I}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}$
(với$Ileft( 1;-3 right)$là trung điểm của HK)
Do đó ${{P}_{min }}Leftrightarrow M{{E}_{min }}$ hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống$Delta $, khi đó ${{P}_{min }}=2{{left[ dleft( I;Delta right) right]}^{2}}+frac{H{{K}^{2}}}{2}=8$. Chọn A.
@ Dạng 5: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-{{z}_{0}} right|=R$. Tìm số phức thỏa mãn $P={{left| z-{{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| z-{{z}_{2}} right|}^{2}}$đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt$M(z);A({{z}_{1}});B({{z}_{2}});Ileft( {{z}_{0}} right)$ là các điểm biểu diễn số phức $z;{{z}_{1}};{{z}_{2}}$ và ${{z}_{0}}$.
Khi đó từ giả thiết $left| z-{{z}_{0}} right|=RLeftrightarrow MI=RRightarrow M$thuộc đường tròn tâm I bán kính R.
Gọi E là trung điểm của AB ta có: $P=2M{{E}^{2}}+frac{A{{B}^{2}}}{2}$ lớn nhất $Leftrightarrow M{{E}_{text{max}}}$và P nhỏ nhất$Leftrightarrow M{{E}_{text{min}}}$.
Khi đó${{P}_{max}}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$ và ${{P}_{min }}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{1}}$.
| Bài tập 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-1+2i right|=2$. Gọi$z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ là số thức thỏa mãn biểu thức $P={{left| z-2-3i right|}^{2}}+{{left| z-5i right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T=a+b$
A. $T=1$ B. $T=3$ C. $T=-1$ D. $T=-3$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( z right);Ileft( 1;-2 right)$ khi đó$MI=2Leftrightarrow M$thuộc đường tròn tâm
$Ileft( 1;-2 right)$ bán kính $R=2$
Đặt $Aleft( 2;3 right);Bleft( 0;5 right)Rightarrow P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$
Gọi $Hleft( 1;4 right)$là trung điểm của AB ta có :
$P=2M{{H}^{2}}+frac{A{{B}^{2}}}{2}$ lớn nhất$Leftrightarrow M{{H}_{text{max}}}$
Do $MHle MI+IHLeftrightarrow M{{H}_{text{max}}}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{2}}$
Ta có:$IH:x=1$
Giải hệ$left{ begin{array} {} x=1 \ {} {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=4 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{M}_{1}}left( 1;0 right) \ {} {{M}_{2}}left( 1;-4 right) \ end{array} right.$. Do đó$a+b=-3$. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn $left| z-3+i right|=frac{sqrt{13}}{2}$. Gọi $z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ là số thức thỏa mãn biểu thức $P={{left| z-2-i right|}^{2}}+{{left| z-3i right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b$
A. $T=frac{5}{2}$ B. $T=frac{3}{2}$ C. $T=frac{13}{2}$ D. $T=frac{9}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( z right);Ileft( 3;-1 right)$khi đó$MI=frac{sqrt{13}}{2}Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $Ileft( 3;-1 right)$ bán kính $R=frac{sqrt{13}}{2}$
Đặt $Aleft( 2;1 right);Bleft( 0;3 right)Rightarrow P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$
Gọi $Eleft( 1;2 right)$là trung điểm của AB ta có :
$P=2M{{E}^{2}}+frac{A{{B}^{2}}}{2}$nhỏ nhất$Leftrightarrow M{{E}_{text{min}}}$
Do $MEge left| MI-IE right|Leftrightarrow M{{E}_{text{min}}}Leftrightarrow Mequiv {{M}_{1}}$
Ta có: $IE:3x+2y-7=0$. Giải hệ$left{ begin{array} {} 3x-2y-7=0 \ {} {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=frac{13}{4} \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{M}_{1}}left( 2;frac{1}{2} right) \ {} {{M}_{2}}left( 4;frac{-5}{2} right) \ end{array} right.$. Do đó$a+b=frac{5}{2}$. Chọn A.
Dạng 6: Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}-{{z}_{0}} right|=R$và $left| {{z}_{2}}-{{text{w}}_{1}} right|=left| {{z}_{2}}-{{text{w}}_{2}} right|$;
trong đó ${{z}_{0;}}{{text{w}}_{1}};{{text{w}}_{2}}$ là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=left| {{z}_{1}}-{{text{z}}_{2}} right|$
Phương pháp: Đặt $M({{z}_{1}});Nleft( {{z}_{2}} right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$.
Điểm M thuộc đường tròn tâm$Ileft( {{z}_{0}} right)$ bán kính$R$,$N$ thuộc trung trực $Delta $ của AB với$Aleft( {{text{w}}_{1}} right);Bleft( {{text{w}}_{2}} right)$
Lại có: $P=MNRightarrow {{P}_{min }}=left| {{d}_{(t;Delta )}}-R right|$
| f
Ví dụ 1: Cho số phức ${{z}_{1}}$ thỏa mãn ${{left| z-2 right|}^{2}}-{{left| z+i right|}^{2}}=1$ và số phức ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| z-4-i right|=sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|$ A. $frac{2sqrt{5}}{5}$ B. $sqrt{5}$ C. $2sqrt{5}$ D. $frac{3sqrt{5}}{5}$ |
Lời giải
Gọi $M(z;y)$là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$. Khi đó ${{left| z-2 right|}^{2}}-{{left| z+i right|}^{2}}=1$
$Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{(y+1)}^{2}}=1Leftrightarrow -4x-2y=-2Leftrightarrow (Delta ):2x+y-1=0$
Gọi $N(a;b)$là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$. Khi đó $left| z-4-i right|=sqrt{5}Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=5$
Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn $(C):{{(x-4)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=5$
Ta có $dleft( {{I}_{(c)}};(Delta ) right)=frac{8}{sqrt{5}}>sqrt{5}={{R}_{(C)}}$
$Rightarrow left( Delta right)$ không cắt đường tròn$left( C right)$.
Lại có$MN=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|Rightarrow $dựa vào hình vẽ ta thấy
$M{{N}_{min }}Leftrightarrow MN=dleft( {{I}_{left( C right)}};left( Delta right) right)-{{R}_{left( C right)}}$
Hay${{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}_{min }}=frac{8sqrt{5}}{5}-sqrt{5}=frac{3sqrt{5}}{5}$. Chọn D.
Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức ${{z}_{1}}$ hoặc ${{z}_{2}}$ để${{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}_{min }}$ thì ta chỉ cần viết phương trình đường thẳng$MNbot left( Delta right)$ sau đó tìm giao điểm$left{ begin{array} {} M=left( Delta right)cap MN \ {} N=left( C right)cap MN \ end{array} right.$.
| Ví dụ 2: Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}+5 right|=5$ và $left| {{z}_{2}}+1-3i right|=left| {{z}_{2}}-3-6i right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|$
A. ${{P}_{min }}=frac{5}{2}$ B. ${{P}_{min }}=frac{15}{2}$ C. ${{P}_{min }}=3$ D. ${{P}_{min }}=10$ |
Lời giải
Gọi $Mleft( {{z}_{1}} right);Nleft( {{z}_{2}} right)$lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức${{z}_{1}}$và${{z}_{2}}$.
Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm $Ileft( -5;0 right)$ bán kính $R=5$.
Điểm N thuộc đường thẳng trung trực $Delta $ của AB với $Aleft( -1;3 right);Bleft( 3;6 right)Rightarrow Delta :4x+3y-frac{35}{2}=0$
Lại có: $P=MNRightarrow {{P}_{min}}=left| {{d}_{left( I;Delta right)}}-R right|=frac{5}{2}$. Chọn A.
Dạng 7: Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}-{{text{w}}_{1}} right|={{R}_{1}}$ và $left| {{z}_{2}}-{{text{w}}_{1}} right|={{R}_{2}}$ trong đó${{text{w}}_{1}};{{text{w}}_{2}}$ là các số phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức$P=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|$.
Phương pháp: Đặt $M({{z}_{1}});Nleft( {{z}_{2}} right)$lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$.
Điểm M thuộc đường tròn tâm $left( {{C}_{1}} right)$ tâm $Ileft( {{text{w}}_{1}} right)$ bán kính ${{R}_{1}}$ và $N$ thuộc đường tròn $left( {{C}_{2}} right)$ tâm $Kleft( {{text{w}}_{2}} right)$ bán kính ${{R}_{2}}Rightarrow P=MN$. Dựa vào các vị trí tương đối của 2 đường tròn để tìm $M{{N}_{max}};M{{N}_{min }}$
| Ví dụ 1: Cho hai số phức $z;text{w}$ thỏa mãn $z.overline{z}=1$ và $left| text{w}-3+4i right|=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=left| z-text{w} right|$
A. ${{P}_{max}}=5$ B. ${{P}_{text{max}}}=8$ C. ${{P}_{text{max}}}=10$ D. ${{P}_{text{max}}}=5+sqrt{2}$ |
Lời giải
Ta có:$z.overline{z}=1Leftrightarrow left| z right|=1$
Gọi $Mleft( z right);Nleft( text{w} right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z$ và $text{w}$.
Điểm M thuộc đường tròn tâm $left( {{C}_{1}} right)$ tâm $Oleft( 0;0 right)$ bán kính ${{R}_{1}}=1$ và $N$ thuộc đường tròn $left( {{C}_{2}} right)$ tâm $K(3;-4)$ bán kính ${{R}_{2}}=2Rightarrow P=MN$.
Dễ thấy $OK=5>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên $left( {{C}_{1}} right)$ và $left( {{C}_{2}} right)$ nằm ngoài nhau suy ra $M{{N}_{max}}=OK+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=8$. Chọn B.
| Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD {} ĐT 2018] Xét các số phức$z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn điều kiện $left| z-4-3i right|=sqrt{5}$. Tính $P=a+b$khi giá trị biểu thức $left| z+1-3i right|+left| z-1+i right|$ đạt giá trị lớn nhất
A. $P=10$ B. $P=4$ C. $P=6$ D. $P=8$ |
Lời giải
Gọi$Mleft( x;y right)$là điểm biểu diễn số phức$z$
Từ giả thiết, ta có $left| z-4-3i right|=sqrt{5}Leftrightarrow {{left( x-4 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=5Rightarrow M$ thuộc đường tròn$left( C right)$tâm$Ileft( 4;3 right)$, bán kính $R=sqrt{5}$. Khi đó $P=MA+MB$, với$Aleft( -1;3 right),Bleft( 1;-1 right)$.
Ta có ${{P}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MBle 2left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} right).$
Gọi $Eleft( 0;1 right)$là trung điểm$ABRightarrow M{{E}^{2}}=frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-frac{A{{B}^{2}}}{4}$.
Do đó ${{P}^{2}}le 4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}$ mà $MEle CE=3sqrt{5}$ suy ra ${{P}^{2}}le 4.{{left( 3sqrt{5} right)}^{2}}+{{left( 2sqrt{5} right)}^{2}}=200$.
Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn$left( C right)$.
Vậy$Ple 10sqrt{2}$. Dấu$”=”$ xảy ra$left{ begin{array} {} MA=MB \ {} Mequiv C \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 6;4 right)Rightarrow a+b=10$. Chọn A.
| Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD {} ĐT 2017] Xét các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện:
$left| z+2-i right|+left| z-4-7i right|=6sqrt{2}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của$left| z-1+i right|$. Tính $P=M+m$ A. $P=sqrt{13}+sqrt{73}$ B. $P=frac{5sqrt{2}+2sqrt{73}}{2}$ C. $P=5sqrt{2}+sqrt{73}$ D. $P=frac{5sqrt{2}+sqrt{73}}{2}$ |
Lời giải
Đặt $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)$ và gọi
$Mleft( x;y right),Aleft( -2;1 right),Bleft( 4;7 right)$ suy ra $AB=6sqrt{2}$.
Ta có $=left( 6;6 right)Rightarrow =left( 1;-1 right)Rightarrow $phương trình đường thẳng
AB là $x-y+3=0$.
Từ giả thiết, ta có $MA+MB=6sqrt{2}to MA+MB=AB$
suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.
Gọi $Nleft( 1;-1 right)Rightarrow left| z-1+i right|=sqrt{{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}}=MNRightarrow left{ begin{array} {} {{left| z-1+i right|}_{min}}=M{{N}_{min }} \ {} {{left| z-1+i right|}_{text{max}}}=M{{N}_{text{max}}} \ end{array} right.$.
Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB.
Hay $M{{N}_{min }}=dleft( N;left( AB right) right)=frac{left| 1-left( -1 right)+3 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}}}}=frac{5sqrt{2}}{2}to m=frac{5sqrt{2}}{2}$
Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi$Mequiv A$hoặc$Mequiv B$.
Ta có $left{ begin{array} {} Mequiv Ato MN=AN=sqrt{13} \ {} Mequiv Bto MN=BN=sqrt{73} \ end{array} right.Rightarrow M{{N}_{max}}=sqrt{73}to M=sqrt{73}.$
Vậy giá trị biểu thức $P=M+m=frac{5sqrt{2}+2sqrt{73}}{2}$. Chọn B.
| Ví dụ 4: Xét các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện: $left| z-1-i right|+left| z-7-4i right|=3sqrt{5}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $left| z-5+2i right|$. Tính $P=M+m$
A. $P=sqrt{5}+sqrt{10}$ B. $P=frac{2sqrt{5}+sqrt{10}}{2}$ C. $P=2left( sqrt{5}+sqrt{10} right)$ D. $P=frac{5sqrt{2}+sqrt{10}}{2}$ |
Lời giải
Đặt $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)$ và gọi $Mleft( x;y right),Aleft( 1;1 right),Bleft( 7;4 right)$
suy ra $AB=3sqrt{5}$.
Ta có$=left( 6;3 right)Rightarrow {{}_{_{(AB)}}}=left( 1;-2 right)Rightarrow $ phương trình đường
thẳng AB là $x-2y+1=0$.
Từ giả thiết, ta có $MA+MB=3sqrt{5}to MA+MB=AB$
suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.
Gọi$Nleft( 5;-2 right)Rightarrow left| z-5+2i right|=MNRightarrow left{ begin{array} {} {{left| z-5+2i right|}_{min}}=M{{N}_{min }} \ {} {{left| z-5+2i right|}_{max}}=M{{N}_{text{max}}} \ end{array} right.$.
Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB.
Hay $M{{N}_{min }}=dleft( N;left( AB right) right)=frac{left| 5-2left( -2 right)+1 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{left( -2 right)}^{2}}}}=2sqrt{5}to m=2sqrt{5}$
Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi$Mequiv A$hoặc$Mequiv B$.
Ta có$left{ begin{array} {} Mequiv Ato MN=AN=5 \ {} Mequiv Bto MN=BN=2sqrt{10} \ end{array} right.Rightarrow M{{N}_{max}}=2sqrt{10}to M=2sqrt{10}.$
Vậy giá trị biểu thức $P=M+m=2left( sqrt{5}+sqrt{10} right).$ Chọn C.
| Ví dụ 5: Biết số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $left| z-3-4i right|=sqrt{5}$và biểu thức $M={{left| z+2 right|}^{2}}-{{left| z-i right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức $z+i$.
A. $left| z+i right|=2sqrt{41}$ B. $left| z+i right|=3sqrt{5}$ C. $left| z+i right|=5sqrt{2}$ D. $left| z+i right|=sqrt{41}$ |
Lời giải
Gọi $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)$
Ta có: $left| z-3-4i right|=sqrt{5}Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=5Rightarrow $ tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là dường tròn $left( C right)$ tâm $Ileft( 3;4 right)$ và $R=sqrt{5}$.
Mặt khác: $M={{left| z+2 right|}^{2}}-{{left| z-i right|}^{2}}={{left( x+2 right)}^{2}}+{{y}^{2}}-left[ left( {{x}^{2}} right)+{{left( y-1 right)}^{2}} right]=4x+2y+3$$Leftrightarrow d:4x+2y+3-M=0$
Do số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và $left( C right)$ có điểm chung
$Leftrightarrow dleft( I;d right)le RLeftrightarrow frac{left| 23-M right|}{2sqrt{5}}le sqrt{5}Leftrightarrow left| 23-M right|le 10Leftrightarrow 13le Mle 33$
$Rightarrow {{M}_{max}}=33Leftrightarrow left{ begin{array} {} 4x+2y-30=0 \ {} {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=5 \ {} y=-5 \ end{array} right.Rightarrow z+i=5-4iRightarrow left| z+i right|=sqrt{41}$. Chọn D.
| Ví dụ 6: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=8+6i$ và $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=2$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|?$
A. $P=4sqrt{6}$ B. $P=5+3sqrt{5}$ C. $P=2sqrt{26}$ D. $P=34+3sqrt{2}$ |
Lời giải
Đặt $Aleft( {{z}_{1}} right);Bleft( {{z}_{2}} right)$theo giả thiết ta có: $overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}=(8;6);left| – right|=2;P=OA+OB$
$104={{left( + right)}^{2}}+{{left( – right)}^{2}}=2left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} right)ge {{left( OA+OB right)}^{2}}={{P}^{2}}Rightarrow Ple sqrt{104}=2sqrt{26}$. Chọn C.
| Ví dụ 7: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn $left| iz+sqrt{2}-i right|=1$ và $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=2$. Giá trị lớn nhất của $left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|$bằng
A. 3 B. $2sqrt{3}$ C. $3sqrt{2}$ D. 4 |
Lời giải
Ta có:$left| iz+sqrt{2}-i right|=1Leftrightarrow left| ileft( x+yi right)+sqrt{2}-i right|=1$ (với$z=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)$)
$Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-sqrt{2} right)}^{2}}=1Rightarrow Mleft( x;y right)$ biểu diễn $z$thuộc đường tròn tâm$Ileft( 1;sqrt{2} right)$ bán kính $R=1$.
Giả sử $Aleft( {{z}_{1}} right);Bleft( {{z}_{2}} right)$ do $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=2Rightarrow AB=2=2R$ nên $AB$ là đường kính của đường tròn$left( I;R right)$
Lại có:$left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|=OA+OB$
Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có:$O{{I}^{2}}=frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}{2}-frac{A{{B}^{2}}}{4}Rightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=8$
Theo BĐT Bunhiascopky ta có: $2left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} right)ge {{left( OA+OB right)}^{2}}Rightarrow OA+OBle 4$. Chọn D.
| Ví dụ 8: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $left| z-5-3i right|=5$và $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=8$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|$là:
A. $6-sqrt{34}$ B. $2sqrt{34}-6$ C. $2sqrt{34}+6$ D. $sqrt{34}+6$ |
Lời giải
Giả sử $text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$
Đặt$left{ begin{array} {} {{text{w}}_{1}}={{z}_{1}}-5-3i \ {} {{text{w}}_{2}}={{z}_{2}}-5-3i \ end{array} right.$ suy ra ${{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}-10-6i=text{w}-10-6iLeftrightarrow left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|=left| text{w}-10-6i right|$
Mà $left{ begin{array} {} left| {{text{w}}_{1}} right|=left| {{text{w}}_{2}} right|=5 \ {} left| {{text{w}}_{1}}-{{text{w}}_{2}} right|=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=8 \ end{array} right.$ mà ${{left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|}^{2}}+{{left| {{text{w}}_{1}}-{{text{w}}_{2}} right|}^{2}}=2left( {{left| {{text{w}}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{text{w}}_{2}} right|}^{2}} right)Rightarrow {{left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|}^{2}}=36.$
Vậy $left| text{w}-10-6i right|=left| {{text{w}}_{1}}+{{text{w}}_{2}} right|=sqrt{36}=6Rightarrow text{w}$thuộc đường tròn tâm $Ileft( 10;6 right)$, bán kính $R=6$.
Cách 2: Gọi $Aleft( {{z}_{1}} right);Bleft( {{z}_{2}} right)$ biểu diễn số phức${{z}_{1}};{{z}_{2}}$
Ta có: tập hợp $z$ là đường tròn tâm $Ileft( 5;3 right)$ bán kính $R=5,AB=8$
Gọi H là trung điểm của $ABRightarrow text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=+=2left( 1 right)$
Mặt khác$IH=sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=3Rightarrow $tập hợp điểm H là đường tròn${{left( x-5 right)}^{2}}+{{left( y-3 right)}^{2}}=9left( C right)$.
Giả sử $text{w}left( a;b right),left( 1 right)Rightarrow Hleft( frac{a}{2};frac{b}{2} right)in left( C right)Rightarrow {{left( frac{a}{2}-5 right)}^{2}}+{{left( frac{b}{2}-3 right)}^{2}}=9Leftrightarrow {{left( a-10 right)}^{2}}+{{left( b-6 right)}^{2}}=36.$
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm $Ileft( 10;6 right)$, bán kính $R=6$.
Ta có:${{left| text{w} right|}_{min }}=left| OI-R right|=2sqrt{34}-6.$ Chọn B.
| Ví dụ 9: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $left| 6-3i+iz right|=left| 2z-6-9i right|$, thỏa mãn điều kiện $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=frac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|$
A. $frac{31}{5}$ B. $frac{56}{5}$ C. $4sqrt{2}$ D. $5$ |
Lời giải
Đặt $z=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)$ suy ra $left{ begin{array} {} 6-3i+iz=6-3i+ileft( x+yi right)=6-y+left( x-3 right)i \ {} 2z-6-9i=2x+2yi-6-9i=2x-6+left( 2y-9 right)i \ end{array} right.$
Khi đó, giả thiết$Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-6 right)}^{2}}={{left( 2x-6 right)}^{2}}+{{left( 2y-9 right)}^{2}}Leftrightarrow {{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=1,,,,,left( C right)$.
Tập hợp $z$là đường tròn tâm$Ileft( 3;4 right)$bán kính $R=1,AB=frac{8}{5}$
Đặt $text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ gọi H là trung điểm của$ABRightarrow text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=+=2left( 1 right)$
Mặt khác$IH=sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=frac{3}{5}Rightarrow $ tập hợp điểm H là đường tròn ${{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-4 right)}^{2}}=frac{9}{25},,,left( C right)$.
Giả sử $text{w}left( a;b right),left( 1 right)Rightarrow Hleft( frac{a}{2};frac{b}{2} right)in left( C right)Rightarrow {{left( frac{a}{2}-3 right)}^{2}}+{{left( frac{b}{2}-4 right)}^{2}}=frac{9}{25}Leftrightarrow {{left( a-6 right)}^{2}}+{{left( b-8 right)}^{2}}=frac{36}{25}.$
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm $Ileft( 6;8 right)$, bán kính $R=frac{6}{5}$.
Ta có: ${{left| text{w} right|}_{max}}=OI+R=10+frac{6}{5}=frac{56}{5}.$
Chọn B.
| Ví dụ 10: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Cho số phức $z$ thỏa mãn $z$ không phải là số thực và $text{w}=frac{z}{2+{{z}^{2}}}$ là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức$M=left| z+1-i right|$là
A. $2$ B. $2sqrt{2}$ C. $sqrt{2}$ D. 8 |
Lời giải
Ta có $text{w}=frac{z}{2+{{z}^{2}}}Rightarrow overline{text{w}}=overline{frac{z}{2+{{z}^{2}}}}=frac{overline{z}}{2+{{overline{z}}^{2}}}left( 1 right)$. Vì w là số thực nên$text{w}=overline{text{w}}left( 2 right)$.
Từ (1), (2) suy ra $text{w}=frac{z}{2+{{z}^{2}}}=frac{overline{z}}{2+{{overline{z}}^{2}}}Leftrightarrow zleft( 2+{{overline{z}}^{2}} right)=overline{z}left( 2+{{z}^{2}} right)Leftrightarrow 2left( z-overline{z} right)=z.overline{z}left( z-overline{z} right)$
$Leftrightarrow left( z-overline{z} right)left( {{left| z right|}^{2}}-2 right)=0Leftrightarrow {{left| z right|}^{2}}=2Leftrightarrow left| z right|=sqrt{2}$ (vì $z$không là số thực nên$z-overline{z}ne 0$).
Đặt $text{w}=z+1-iLeftrightarrow z=text{w}-1+i$ nên $left| text{w}-1+i right|=sqrt{2}Rightarrow {{left| text{w} right|}_{max}}=sqrt{2}+sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=2sqrt{2}$. Chọn B.
Cách 2: Ta có w là số thực nên $frac{1}{text{w}}=z+frac{2}{z}$ là số thực.
Đặt $z=a+biRightarrow frac{1}{text{w}}=a+bi+frac{2left( a-bi right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ là số thực khi $b-frac{2b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} b=0left( kot/mycbt right) \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2Rightarrow left| z right|=sqrt{2} \ end{array} right.$
Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn $Oleft( 0;0 right);R=sqrt{2}$
Đặt $Mleft( z right);Aleft( -1;1 right)Rightarrow M{{A}_{max}}=AO+R=2sqrt{2}$. Chọn B.
| Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn $left| z right|=1$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=left| z+1 right|+left| {{z}^{2}}-z+1 right|$. Tính giá trị của M.m
A. $frac{13sqrt{3}}{4}$ B. $frac{39}{4}$ C. $3sqrt{3}$ D. $frac{13}{4}$ |
Lời giải
Gọi $z=x+yi;left( xin mathbb{R};yin mathbb{R} right)$. Ta có:$left| z right|=1Leftrightarrow z.overline{z}=1$.
Đặt $t=left| z+1 right|,$ta có $0=left| z right|-1le left| z+1 right|le left| z right|+1=2Rightarrow tin left[ 0;2 right]$.
Ta có ${{t}^{2}}=left( 1+z right)left( 1+overline{z} right)=1+z.overline{z}+z+overline{z}=2+2xRightarrow x=frac{{{t}^{2}}-2}{2}$
Suy ra $left| {{z}^{2}}-z+1 right|=left| {{z}^{2}}-z+z.overline{z} right|=left| z right|left| z-1+overline{z} right|=sqrt{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}=left| 2x-1 right|=left| {{t}^{2}}-3 right|$
Xét hàm số$fleft( t right)=t+left| {{t}^{2}}-3 right|,tin left[ 0;2 right]$. Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
$text{max }fleft( t right)=frac{13}{4};min fleft( t right)=sqrt{3}Rightarrow M.n=frac{13sqrt{3}}{4}.$
Chọn A.
| Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn $left| z right|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=left| z+1 right|+2left| z-1 right|$
A. $text{MaxT=2}sqrt{5}$ B. $text{MaxT=2}sqrt{10}$ C. $text{MaxT=3}sqrt{5}$ D. $text{MaxT=3}sqrt{2}$ |
Lời giải
$T=left| z+1 right|+2left| z-1 right|le sqrt{left( 1+{{2}^{2}} right)left( {{left| z+1 right|}^{2}}+{{left| z-1 right|}^{2}} right)}=sqrt{5.2left( {{left| z right|}^{2}}+1 right)}=2sqrt{5}$(BĐT Cauchy-Swart)
Chú ý: ${{left| z+1 right|}^{2}}+{{left| z-1 right|}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2=2left( {{left| z right|}^{2}}+1 right)$ với $z=x+yi$
Cách 2: Đặt $z=x+yi$. Ta có : $T=left| x+yi+1 right|+2left| x-yi-1 right|=sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Lại có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1Rightarrow T=sqrt{2x+2}+2sqrt{-2x+2}=fleft( x right)$
Ta có:$f’left( x right)=frac{1}{sqrt{2x+2}}-frac{2}{sqrt{2-2x}}=0Leftrightarrow x=frac{-6}{10}Rightarrow {{T}_{max}}=2sqrt{5}$. Chọn A.
| Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn $left| z-4 right|+left| z+4 right|=10$. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $left| z right|$ lần lượt là :
A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 D. 5 và 3 |
Lời giải
Đặt $z=x+yi;left( x;yin mathbb{R} right)Rightarrow M(x;y)$biểu diễn $z$
Ta có: $left| z-4 right|+left| z+4 right|=10Leftrightarrow left| z+yi-4 right|+left| x+yi+4 right|=10$
Gọi ${{F}_{1}}(-4;0);{{F}_{2}}(4;0)Rightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=10$
Khi đó điểm biểu diễn $z$ là Elip có trục lớn
$2a=10Rightarrow a=5;{{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=8$
$Rightarrow c=4Rightarrow b=sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=3$. Do đó $3le OMle 5Rightarrow 3le left| z right|le 5$. Chọn D.