Sử dụng công thức nhị thức Newton
}
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
(begin{array}{l}{left( {2 + sqrt 2 } right)^4} = {2^4} + {4.2^3}.left( {sqrt 2 } right) + {6.2^2}.{left( {sqrt 2 } right)^2} + 4.2.{left( {sqrt 2 } right)^3} + {left( {sqrt 2 } right)^4}\ = left[ {{2^4} + {{6.2}^2}.{{left( {sqrt 2 } right)}^2} + {{left( {sqrt 2 } right)}^4}} right] + left[ {{{4.2}^3}.left( {sqrt 2 } right) + 4.2.{{left( {sqrt 2 } right)}^3}} right]\ = 68 + 48sqrt 2 end{array})
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
({left( {2 + sqrt 2 } right)^4} = {2^4} + {4.2^3}.left( {sqrt 2 } right) + {6.2^2}.{left( {sqrt 2 } right)^2} + 4.2.{left( {sqrt 2 } right)^3} + {left( {sqrt 2 } right)^4})
({left( {2 – sqrt 2 } right)^4} = left( {2 +(- sqrt 2 )} right)^4= {2^4} + {4.2^3}.left( { – sqrt 2 } right) + {6.2^2}.{left( { – sqrt 2 } right)^2} + 4.2.{left( { – sqrt 2 } right)^3} + {left( { – sqrt 2 } right)^4})
Từ đó,
(begin{array}{l}{left( {2 + sqrt 2 } right)^4} + {left( {2 – sqrt 2 } right)^4} = 2left[ {{2^4} + {{6.2}^2}.{{left( {sqrt 2 } right)}^2} + {{left( {sqrt 2 } right)}^4}} right]\ = 2left( {16 + 48 + 4} right) = 136end{array})
c) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
(begin{array}{l}{left( {1 – sqrt 3 } right)^5} = left( {1 +(- sqrt 3 )} right)^5= 1 + 5.left( { – sqrt 3 } right) + 10.{left( { – sqrt 3 } right)^2} + 10.{left( { – sqrt 3 } right)^3} + 5.{left( { – sqrt 3 } right)^4} + 1.{left( { – sqrt 3 } right)^5}\ = left[ {1 + 10.{{left( { – sqrt 3 } right)}^2} + 5.{{left( { – sqrt 3 } right)}^4}} right] + left[ {5.left( { – sqrt 3 } right) + 10.{{left( { – sqrt 3 } right)}^3} + 1.{{left( { – sqrt 3 } right)}^5}} right]\ = 76 – 44sqrt 3 end{array})