Đề bài
Biết rằng hàm số (y = 2{x^2}{rm{ + }}mx + n) giảm trên khoảng (left( { – infty ;1} right),)tăng trên khoảng (left( {1; + infty } right)) và có tập giá trị là ([9; + infty )). Xác định giá trị của m và n.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Từ tập giá trị suy ra GTNN của hàm số bằng 9.
Lập bảng biến thiên, xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số.
}
Lời giải chi tiết
Đỉnh S có tọa độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}} = frac{{ – m}}{{2.2}} = – frac{m}{4};{y_S} = f( – frac{m}{4}))
Vì hàm số bậc hai có (a = 2 > 0) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng (f( – frac{m}{4}).)
Hàm số giảm trên (( – infty ; – frac{m}{4})) và tăng trên (( – frac{m}{4}; + infty ))
Theo giả thiết, ta có:
Hàm số giảm trên khoảng (left( { – infty ;1} right))( Rightarrow left( { – infty ;1} right) subset ( – infty ; – frac{m}{4}) Leftrightarrow 1 le – frac{m}{4}.)
Tương tự hàm số tăng trên khoảng (left( {1; + infty } right))( Rightarrow left( {1; + infty } right) subset ( – frac{m}{4}; + infty ) Leftrightarrow – frac{m}{4} le 1.)
Do đó: ( – frac{m}{4} = 1) hay (m = – 4)
Lại có: Tập giá trị là ([9; + infty ))( Rightarrow )Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 9.
( Leftrightarrow f(1) = f( – frac{m}{4}) = 9 Leftrightarrow {2.1^2} – ( – 4).1 + n = 9 Leftrightarrow n = 3.)
Vậy (m = – 4,n = 3.)