Đề bài
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
(cot A + cot B + cot C = frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}})
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Tính (cot A,cot B,cot C)bằng cách: Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin:
(sin A = frac{a}{{2R}}); (cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}})
}
Lời giải chi tiết
Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:
(frac{a}{{sin A}} = 2R Rightarrow sin A = frac{a}{{2R}})
và (cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}})
( Rightarrow cot A = frac{{cos A}}{{sin A}} = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}:frac{a}{{2R}} = R.frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{abc}})
Tương tự ta có: (cot B = R.frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{abc}}) và (cot C = R.frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{abc}})
(begin{array}{l} Rightarrow cot A + cot B + cot C = frac{R}{{abc}}left[ {left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} right) + left( {{a^2} + {c^2} – {b^2}} right) + left( {{a^2} + {b^2} – {c^2}} right)} right]\ = frac{R}{{abc}}left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} – {a^2} – {c^2} – {b^2}} right) = frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}end{array})