Bài tập cực trị hàm bậc 4 (trùng phương) có đáp án
| Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+m,$ với $m$ là tham số.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho $OA=BC$, với $O$ là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4left( m+1 right)x=4xleft[ {{x}^{2}}-left( m+1 right) right]Rightarrow y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=m+1 \end{matrix} right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y’=0$ có ba nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow m+1>0Leftrightarrow m>-1.(*)$
Với $m>-1$ thì $y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} {{x}_{1}}=0Rightarrow {{y}_{1}}=mtext{ } \ {{x}_{2}}=sqrt{m+1}Rightarrow {{y}_{2}}=-{{left( m+1 right)}^{2}}+mtext{ } \ {{x}_{3}}=-sqrt{m+1}Rightarrow {{y}_{3}}=-{{left( m+1 right)}^{2}}+m \end{matrix} right.$
Theo bài ta có tọa độ các điểm cực trị là $Aleft( 0;m right),Bleft( sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1 right),Cleft( -sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1 right)$
Từ đó $OA=BCLeftrightarrow O{{A}^{2}}=B{{C}^{2}}Leftrightarrow {{m}^{2}}=4left( m+1 right)Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-4=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=2+2sqrt{2} \ m=2-2sqrt{2} \end{matrix} right.$
Kết hợp với điều kiện (*) ta được $m=2pm 2sqrt{2}$ là các giá trị cần tìm.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1,$ với $m$ là tham số.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=4xleft[ {{x}^{2}}-{{m}^{2}} right]Rightarrow y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}={{m}^{2}}text{ } \end{matrix} right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y’=0$ có ba nghiệm phân biệt$Leftrightarrow {{m}^{2}}>0Leftrightarrow mne 0.(*)$
Với $mne 0$ thì $y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} {{x}_{1}}=0Rightarrow {{y}_{1}}=1text{ } \ {{x}_{2}}=mRightarrow {{y}_{2}}=1-{{m}^{4}}text{ } \ {{x}_{3}}=-mRightarrow {{y}_{3}}=1-{{m}^{4}} \end{matrix} right.xrightarrow{{}}Aleft( 0;1 right),Bleft( m;1-{{m}^{4}} right),Cleft( -m;1-{{m}^{4}} right)$
Ta nhận thấy tam giác$Delta ABC$ luôn cân tại A. Để $Delta ABC$ vuông cân thì phải vuông cân tại A.
Từ đó suy ra
$ABbot ACLeftrightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0Leftrightarrow left( m;-{{m}^{4}} right).left( -m;-{{m}^{4}} right)=0Leftrightarrow -{{m}^{2}}+{{m}^{8}}=0Leftrightarrow {{m}^{2}}left( {{m}^{6}}-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0text{ } \ m=pm 1 \end{matrix} right.$
Kết hợp với điều kiện (*) ta được $m=pm 1$ là các giá trị cần tìm.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1,$ với $m$ là tham số.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác a) Có diện tích bằng $4sqrt{2}.$ b) Đều. c) Có một góc bằng ${{120}^{0}}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}+4mx=4xleft( {{x}^{2}}+m right)Rightarrow y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=-mtext{ } \end{matrix} right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y’=0$ có ba nghiệm phân biệt, tức là $m
Với $m
$y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0Rightarrow y=-m-1text{ } \ x=sqrt{-m}Rightarrow y=-{{m}^{2}}-m-1text{ } \ x=-sqrt{-m}Rightarrow y=-{{m}^{2}}-m-1 \end{matrix} right.xrightarrow{{}}Aleft( 0;-m-1 right),Bleft( sqrt{-m};-{{m}^{2}}-m-1 right),Cleft( -sqrt{-m};-{{m}^{2}}-m-1 right)$
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.
a) Gọi H là trung điểm của $BCRightarrow Hleft( 0;-{{m}^{2}}-m-1 right)$
Khi đó, ${{S}_{Delta ABC=}}=frac{1}{2}AH.BC=4sqrt{2}Leftrightarrow AH.BC=8sqrt{2}Leftrightarrow A{{H}^{2}}.B{{C}^{2}}=128.text{ }(1)$
Ta có $overrightarrow{BC}=left( -2sqrt{-m};0 right);overrightarrow{AH}=left( 0;-{{m}^{2}} right),$ từ đó (1)$Leftrightarrow -4m.{{m}^{4}}=128Leftrightarrow {{m}^{5}}=-32Rightarrow m=-2$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy $m=-2$ là giá trị cần tìm.
b) Tam giác ABC đều khi $AB=BCLeftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}},text{ }left( 2 right)$
Ta có $overrightarrow{AB}=left( sqrt{-m};-{{m}^{2}} right);overrightarrow{BC}=left( -2sqrt{-m};0 right),$ từ đó
$(2)Leftrightarrow -m+{{m}^{4}}=-4mLeftrightarrow {{m}^{4}}=-3mLeftrightarrow left[ begin{matrix} m=0text{ } \ m=-sqrt[3]{3} \end{matrix} right.$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=-sqrt[3]{3}$ là giá trị cần tìm.
c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng ${{120}^{0}}$ thì $widehat{BAC}={{120}^{0}}$
Gọi H là trung điểm của $BCRightarrow Hleft( 0;-{{m}^{2}}-m-1 right)$
Trong tam giác vuông HAB có
$sin widehat{HAB}=sin {{60}^{0}}=frac{BH}{AB}=frac{sqrt{3}}{2}Leftrightarrow sqrt{3}AB=2BH=BCLeftrightarrow 3A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}},text{ (3)}$
Ta có $overrightarrow{AB}=left( sqrt{-m};-{{m}^{2}} right);overrightarrow{BC}=left( -2sqrt{-m};0 right),$ khi đó $(3)Leftrightarrow 3left( -m+{{m}^{4}} right)=-4mLeftrightarrow left[ begin{matrix} m=0text{ } \ m=-frac{1}{sqrt[3]{3}} \end{matrix} right.$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=-frac{1}{sqrt[3]{3}}$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m-1,$ với $m$ là tham số.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=4xleft( {{x}^{2}}-m right)Rightarrow y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=mtext{ } \end{matrix} right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y’=0$ có ba nghiệm phân biệt, tức là $m>0.(*)$
Với $m>0$ thì
$y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0Rightarrow y=m-1text{ } \ x=sqrt{m}Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m-1text{ } \ x=-sqrt{m}Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m-1 \end{matrix} right.xrightarrow{{}}Aleft( 0;m-1 right),Bleft( sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 right),Cleft( -sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 right)$
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là trung điểm của $BCRightarrow Hleft( 0;-{{m}^{2}}+m-1 right)$
Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{Delta ABC}}=frac{AH.BC}{2}=frac{AB.BC.AC}{4R}Rightarrow R=frac{A{{B}^{2}}}{2AH},text{ (1)}$
Ta có $overrightarrow{AB}=left( sqrt{m};-{{m}^{2}} right);overrightarrow{AH}=left( 0;-{{m}^{2}} right)Rightarrow left{ begin{matrix} A{{B}^{2}}=m+{{m}^{4}} \ AH={{m}^{2}}text{ } \end{matrix} right.$
Khi đó, $(1)Leftrightarrow 2=frac{m+{{m}^{4}}}{{{m}^{2}}}Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+1=0Leftrightarrow left( m-1 right)left( {{m}^{2}}+m-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=1text{ } \ m=frac{-1pm sqrt{5}}{2} \end{matrix} right.$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=1;m=frac{sqrt{5}-1}{2}$ là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
| Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}text{ (1)},$ với $m$ là tham số.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4left( m+1 right)x=4xleft[ {{x}^{2}}-left( m+1 right) right]Rightarrow y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=m+1text{ } \end{matrix} right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y’=0$ có ba nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow m+1>0Leftrightarrow m>-1.(*)$
Với $mne 0$ thì
$y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} {{x}_{1}}=0Rightarrow {{y}_{1}}={{m}^{2}}text{ } \ {{x}_{2}}=sqrt{m+1}Rightarrow {{y}_{2}}=-2m-1text{ } \ {{x}_{3}}=-sqrt{m+1}Rightarrow {{y}_{3}}=-2m-1 \end{matrix} right.xrightarrow{{}}Aleft( 0;{{m}^{2}} right),Bleft( sqrt{m+1};-2m-1 right),Cleft( -sqrt{m+1};-2m-1 right)$
Ta nhận thấy tam giác ABC luôn cân tại A. Để $Delta ABC$ vuông cân thì phải vuông cân tại A.
Ta có $overrightarrow{AB}=left( sqrt{m+1};-{{left( m+1 right)}^{2}} right);overrightarrow{AC}=left( -sqrt{m+1};-{{left( m+1 right)}^{2}} right)$
Từ đó suy ra $ABbot ACLeftrightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0Leftrightarrow -left( m+1 right)+{{left( m+1 right)}^{4}}=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} m+1=0 \ {} m+1=1 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=-1 \ m=0text{ } \end{matrix} right.$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=0$ là các giá trị cần tìm.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+2left( C right).$ Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho $BC=4OA$ trong đó A là điểm cực trị thuộc trục tung. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4left( m+1 right)x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0Rightarrow y=2Rightarrow Aleft( 0;2 right)text{ } \ {{x}^{2}}=m+1text{ } \end{matrix}(1). right.$
Để hàm số có 3 điểm cực trị $Leftrightarrow (1)$ có ba nghiệm phân biệt$Leftrightarrow m+1>0Leftrightarrow m>-1.$
Khi đó ta có: $x=pm sqrt{m+1}Rightarrow y=-{{left( m+1 right)}^{2}}+2=-{{m}^{2}}-2m+1.$
$Rightarrow Bleft( sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-2m+1 right);Cleft( -sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-2m+1 right).$
Theo giả thiết ta có: $BC=4OALeftrightarrow 2sqrt{m+1}=4.2Leftrightarrow sqrt{m+1}=4Leftrightarrow m=15left( tm right).$
Vậy $m=15$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}+1left( C right)$. Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho tam giác ABC vuông cân. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0Rightarrow y=2{{m}^{2}}+1Rightarrow Aleft( 0;2{{m}^{2}}+1 right)text{ } \ {{x}^{2}}=mtext{ } \end{matrix}(1). right.$
Để hàm số có 3 điểm cực trị $Leftrightarrow (1)$ có ba nghiệm phân biệt$m>0.$
Khi đó ta có: $x=pm sqrt{m}Rightarrow y={{m}^{2}}+1Rightarrow Bleft( sqrt{m};{{m}^{2}}+1 right);Cleft( -sqrt{m};{{m}^{2}}+1 right).$
Ta có: $overrightarrow{AB}=left( sqrt{m};-{{m}^{2}} right);overrightarrow{AC}=left( -sqrt{m};-{{m}^{2}} right).$ Khi đó $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}}$ do vậy tam giác ABC cân tại A suy ra tam giác ABC vuông cân $Leftrightarrow $ vuông cân tại $ALeftrightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0$
$Leftrightarrow -m+{{m}^{4}}=0Leftrightarrow mleft( {{m}^{3}}-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0left( loai right) \ m=1text{ } \end{matrix} right..$
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+1left( C right)$. Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C có tung độ là ${{y}_{1}};{{y}_{2}};{{y}_{3}}$ thỏa mãn đẳng thức: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}=3.$ |
Lời giải chi tiết
+) Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=4xleft( {{x}^{2}}-m right)$
+) Để hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow m>0.$
Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $Aleft( 0;2m+1 right),Bleft( -sqrt{m};2m+1-{{m}^{2}} right),Cleft( sqrt{m};2m+1-{{m}^{2}} right)$
Ta có: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}={{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}=-2{{m}^{2}}+6m+3=3Leftrightarrow m=3.$
Vậy $m=3$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+mleft( C right)$. Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho $2OA+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=8$ với O là gốc tọa độ và A là điểm cực trị thuộc trục tung. |
Lời giải chi tiết
+) Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=4xleft( {{x}^{2}}-m right)$
+) Để hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow m>0.$
Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $Aleft( 0;{{m}^{2}}+m right),Bleft( -sqrt{m};m right),Cleft( sqrt{m};m right)$
+) Để $2OA+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=8Leftrightarrow 2left( {{m}^{2}}+m right)+2left( m+{{m}^{2}} right)=8$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}+m=2Leftrightarrow m=1left( dotext{ }m>0 right).$ Kết hợp điều kiện ta được $m=1$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 10: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1left( C right)$ và điểm $Eleft( 0;-1 right).$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại tại A hai điểm cực tiểu tại B và C sao cho $Delta BCE$ là tam giác đều. |
Lời giải chi tiết
+) Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4left( m+1 right)x=4xleft[ {{x}^{2}}-left( m+1 right) right]$
+) Để hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow m+1>0Leftrightarrow m>-1.$
+) Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $Aleft( 0;{{m}^{2}}+1 right),Bleft( sqrt{m+1};-2m right),Cleft( -sqrt{m+1};-2m right)$
$B{{C}^{2}}=4left( m+1 right);B{{E}^{2}}=m+1+{{left( 2m-1 right)}^{2}}=C{{E}^{2}}$
Do $BE=CE$ nên tam giác BCE đều$Leftrightarrow BE=BCLeftrightarrow 4left( m+1 right)=m+1+{{left( 2m-1 right)}^{2}}$
$Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-7m-2=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=2text{ } \ m=-frac{1}{4} \end{matrix}left( t/m right) right..$ Vậy $m=2;m=-frac{1}{4}$ là các giá trị cần tìm.
| .Bài tập 11: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-left( m+1 right){{x}^{2}}+1$. Giá trị của $m$ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là:
A. $m>-1.$ B. $mC. $mge -1.$ D. $mle -1.$ |
Lời giải chi tiết
Hàm số có 3 điểm cực trị $ab=1.left[ -left( m+1 right) right]-1.$ Chọn A.
| Bài tập 12: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+left( {{m}^{2}}-4m+3 right){{x}^{2}}+2m-1$. Giá trị của $m$ để hàm số đã cho có một điểm cực trị là:
A. $1 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}+2left( {{m}^{2}}-4m+2 right)x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=frac{-left( {{m}^{2}}-4m+3 right)}{2} \end{matrix} right..$
Hàm số có 1 điểm cực trị $ab={{m}^{2}}-4m+3ge 0Leftrightarrow left[ begin{matrix} mge 3 \ mle 1 \end{matrix} right..$ Chọn D.
| Bài tập 13: Cho hàm số $y=left( m-1 right){{x}^{4}}+left( 2m-1 right){{x}^{2}}+3$. Giá trị của $m$ để hàm số đã cho có một điểm cực trị là:
A. $frac{1}{2} |
Lời giải chi tiết
Với $m=1Rightarrow y={{x}^{2}}+3$ nên hàm số đã cho có một điểm cực trị
Với $mne 1$ để hàm số có 1 điểm cực trị$Leftrightarrow ab=left( m-1 right)left( 2m-1 right)ge 0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m>1 \ mle frac{1}{2} \end{matrix} right..$
Kết hợp cả 2 trường hợp ta được $left[ begin{matrix} mge 1 \ mle frac{1}{2} \end{matrix} right.$là giá trị cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 14: Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=m{{x}^{4}}+left( 2m-1 right){{x}^{2}}+m-2$ chỉ có một cực đại và không có cực tiểu.
A. $left[ begin{matrix} mle 0 \ mge frac{1}{2} \end{matrix} right..$ B. $mle 0$ C. $left[ begin{matrix} mle 0 \ m>frac{1}{2} \end{matrix} right..$ D. $mle frac{1}{2}.$ |
Lời giải
TH1: Với $m=0,$ ta có $y=-{{x}^{2}}-2Rightarrow x=0$ là điểm cực đại của hàm số.
TH2: Với $mne 0,$ ta có $y’=4m{{x}^{3}}+left( 2m-1 right)x=xleft( 4m{{x}^{2}}+2m-1 right);forall xin mathbb{R}.$
Phương trình $y’=0Leftrightarrow xleft( 4m{{x}^{2}}+2m-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ 4m{{x}^{2}}=1-2m \end{matrix} right..$
Để hàm số có một cực đại và không có cực tiểu$Leftrightarrow left{ begin{matrix} m0 \end{matrix}Leftrightarrow mChọn B.
| Ví dụ 15: Cho hàm số $y=left( {{m}^{2}}-2m right){{x}^{4}}+left( m-1 right){{x}^{2}}+1$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $left[ -100;100 right]$ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là:
A. 103. B. 100. C. 101. D. 102. |
Lời giải
Với ${{m}^{2}}-2m=0$ thì hàm số đã cho không thể có 3 điểm cực trị
Với ${{m}^{2}}-2mne 0$ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì $ab=fleft( x right)=left( {{m}^{2}}-2m right)left( m-1 right)
Lập bảng xét dấu cho $fleft( m right)$ ta được $fleft( m right)
Kết hợp $left{ begin{matrix} min mathbb{Z}text{ } \ min left[ -100;100 right] \end{matrix} right.Rightarrow $ có 100 giá trị nguyên của m. Chọn B.
| Ví dụ 16: Cho hàm số $y=left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{4}}+left( 2m-1 right){{x}^{2}}+2m+1$. Giá trị của $m$ để hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu là
A. $frac{1}{2} |
Lời giải
Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu$Leftrightarrow left{ begin{matrix} a={{m}^{2}}-1
$Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{m}^{2}}-10 \end{matrix} right.Leftrightarrow frac{1}{2}
| Ví dụ 17: Cho hàm số $y=m{{x}^{4}}+left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{2}}+m-1$. Giá trị của $m$ để hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại là:
A. $-1 |
Lời giải
Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi
$left{ begin{matrix} m>0text{ } \ ab=mleft( {{m}^{2}}-1 right)0text{ } \ {{m}^{2}}-1Chọn C.
| Ví dụ 18: Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+2left( ane 0 right)$. Giá trị của a và b để đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $Aleft( 1;-2 right)$ là:
A. $a=4;b=-8.$ B. $a=2;b=-6.$ C. $a=-4;b=8.$ D. $a=2;b=-4.$ |
Lời giải
Ta có $y’=4a{{x}^{3}}+2bx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0Rightarrow y=c \ {{x}^{2}}=frac{-b}{2a}text{ } \end{matrix} right..$
Hàm số đạt cực trị tại điểm $Aleft( 1;-2 right)$nên $left{ begin{matrix} frac{-b}{2a}=1text{ } \ a+b+2=-2 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} b=-2atext{ } \ a+b=-4 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} a=4text{ } \ b=-8 \end{matrix} right..$ Chọn A.
| Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1$có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. $m=-frac{1}{sqrt[3]{9}}.$ B. $m=-1.$ C. $m=frac{1}{sqrt[3]{9}}.$ D. $m=1.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=-m \end{matrix} right.$
Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $-m>0Leftrightarrow m
Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là $Aleft( 0;1 right),Bleft( sqrt{-m};-{{m}^{2}}+1 right),Cleft( -sqrt{-m};-{{m}^{2}}+1 right)$
Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{4}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.
Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A. Do đó $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0left( loai right) \ m=-1text{ } \end{matrix} right..$
Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh với $widehat{BAC}={{90}^{0}}$ ta có: ${{tan }^{2}}frac{A}{2}=frac{-8a}{{{b}^{3}}}Leftrightarrow frac{-8}{8{{m}^{3}}}=1Leftrightarrow m=-1.$
Chọn B.
| Ví dụ 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1$có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. $m=pm frac{1}{sqrt[3]{9}}.$ B. $m=pm frac{1}{2}.$ C. $m=pm 1.$ D. $m=pm frac{1}{sqrt[3]{3}}.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}={{m}^{2}} \end{matrix} right.$
Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là ${{m}^{2}}>0Leftrightarrow mne 0.$
Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là $Aleft( 0;1 right),Bleft( m;1-{{m}^{4}} right),Cleft( m;1-{{m}^{4}} right)$
Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{8}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.
Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A.
Do đó $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0Leftrightarrow -m+{{m}^{6}}=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0left( l right)text{ } \ {{m}^{2}}=1Leftrightarrow m=pm 1 \end{matrix} right..$ Chọn C.
| Ví dụ 21: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2left( m+1 right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}text{ }left( C right).$Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
A. $m=-1.$ B. $m=0.$ C. $m=1.$ D. $m=2.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4left( m+1 right)x=4xleft( {{x}^{2}}-m-1 right)$
+) Để hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow m+1>0Leftrightarrow m>-1.$
Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $Aleft( 0;{{m}^{2}} right),Bleft( -sqrt{m+1};-2m-1 right),Cleft( sqrt{m+1};-2m-1 right)$
$overrightarrow{AB}=left( -sqrt{m+1};-{{left( m+1 right)}^{2}} right);overrightarrow{AC}=left( sqrt{m+1};-{{left( m+1 right)}^{2}} right)$
+) Do$AB=AC$ nên tam giác ABC vuông $Leftrightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{4}}-left( m+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=-1left( loai right) \ m=0left( t/m right)text{ } \end{matrix} right.$
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm. Chọn B.
| Ví dụ 22: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+{{m}^{4}}$. Điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:
A. $m=1.$ B. $m=pm sqrt[3]{3}.$ C. $m=sqrt[3]{3}.$ D. $m=pm 1.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=m \end{matrix} right.$
Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $m>0.$
Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là:$Aleft( 0;2m+{{m}^{4}} right),Bleft( sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m right),Cleft( -sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m right)$
Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.
Tam giác ABC đều $Leftrightarrow AB=BCLeftrightarrow m+{{m}^{4}}=4mLeftrightarrow left[ begin{matrix} m=sqrt[3]{3}text{ } \ m=0left( loai right) \end{matrix} right..$
Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với $widehat{BAC}={{60}^{0}}$ ta có: ${{tan }^{2}}frac{A}{2}=frac{-8a}{{{b}^{3}}}Leftrightarrow frac{-8}{-8{{m}^{3}}}=frac{1}{3}Leftrightarrow m=sqrt[3]{3}.$
Chọn C.
| Ví dụ 23: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}-4$. Giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $S=1$ là:
A. $m=1.$ B. $m=pm sqrt[3]{3}.$ C. $m=sqrt[3]{3}.$ D. $m=pm 1.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=m \end{matrix} right.$
Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là: $m>0.$
Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là:$Aleft( 0;2{{m}^{2}}-4 right),Bleft( sqrt{m};{{m}^{2}}-4 right),Cleft( -sqrt{m};{{m}^{2}}-4 right)$
Trung điểm của BC là $Hleft( 0;{{m}^{2}}-4 right).$ Do đó $S=frac{1}{2}AH.BC=frac{1}{2}left| {{y}_{A}}-{{y}_{H}} right|.left| {{x}_{B}}-{{x}_{C}} right|.$
$=frac{1}{2}.left| {{m}^{2}} right|.2sqrt{m}=1Leftrightarrow {{m}^{2}}sqrt{m}=1Leftrightarrow m=1.$
Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với ${{S}^{2}}=frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}={{m}^{5}}=1Leftrightarrow m=1.$ Chọn A.
| Ví dụ 24: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}-2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S thỏa mãn $1 |
Lời giải
Ta có: ${{S}^{2}}=frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}={{m}^{5}}Rightarrow S={{m}^{2}}sqrt{m}.$
Khi đó: $1
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow $ có 19 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A.
| Ví dụ 25: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2mleft( C right)$. Giá trị ${{m}_{0}}$ của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tại $A,B,C$ sao cho tam giác ABC có một góc bằng ${{120}^{0}}$ thỏa mãn:
A. ${{m}_{0}}in left( 0;frac{1}{2} right).$ B. ${{m}_{0}}in left( frac{1}{2};1 right).$ C. ${{m}_{0}}in left( 1;2 right).$ D. ${{m}_{0}}in left( 2;3 right).$ |
Lời giải
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=m \end{matrix} right.$
Để hàm số có CĐ,CT $Leftrightarrow m>0.$ Khi đó gọi$Aleft( 0;2m right)Bleft( sqrt{m};2m-{{m}^{2}} right),Cleft( -sqrt{m};2m-{{m}^{2}} right)$
Gọi H là trung điểm của BC ta có$Hleft( 0;2m-{{m}^{2}} right).$ Dễ thấy tam giác ABC cân tại A.
$Rightarrow widehat{BAC}={{120}^{0}}$ có đường trung tuyến AH do đó: $widehat{BAH}={{60}^{0}}.$
Khi đó ta có: $tan widehat{BAH}=frac{BH}{AH}=left| frac{sqrt{m}}{{{m}^{2}}} right|=frac{1}{msqrt{m}}=sqrt{3}Rightarrow {{m}^{3}}=frac{1}{3}Leftrightarrow m=frac{1}{sqrt[3]{3}}.$
Vậy $m=frac{1}{sqrt[3]{3}}in left( frac{1}{2};1 right)$ là giá trị cần tìm. Chọn B.
| Ví dụ 26: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1-m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.
A. $m=0.$ B. $m=2.$ C. $m=1.$ D. Không tồn tại m. |
Lời giải
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4mx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=m \end{matrix} right.$. Để hàm số có ba điểm cực trị thì $m>0text{ (1)}$
Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là:$Aleft( 0;1-m right),Bleft( sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 right),Cleft( -sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 right)$
Ta có: $overrightarrow{OA}left( 0;1-m right),overrightarrow{OB}left( sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 right),overrightarrow{BC}left( -2sqrt{m};0 right),overrightarrow{AC}left( -sqrt{m};-{{m}^{2}} right)$
Vì O là trực tâm nên $left{ begin{matrix} overrightarrow{OA}.overrightarrow{BC}=0 \ overrightarrow{OB}.overrightarrow{AC}=0 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 0=0text{ } \ sqrt{m}.left( -sqrt{m} right)+left( -{{m}^{2}}-m+1 right)left( -{{m}^{2}} right)=0 \end{matrix} right.Leftrightarrow m=0;m=pm 1text{ (2)}$
Từ (1) và (2) $Rightarrow m=1.$ Chọn C.
| Ví dụ 27: Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m$có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1 thì giá trị của m là
A. $m=1;m=frac{-1pm sqrt{5}}{2}.$ B. $m=-1;m=frac{-1+sqrt{5}}{2}.$ C. $m=1;m=frac{-1+sqrt{5}}{2}.$ D. $m=1;m=frac{-1-sqrt{5}}{2}.$ |
Lời giải
Hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+cRightarrow a=1;b=-2m;c=m.$
Ta có $y’=4{{x}^{3}}-4mx;y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=m \end{matrix} right.$. Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$
| Sử dụng công thức giải nhanh ${{R}_{Delta ABC}}={{R}_{0}}$ với ${{R}_{0}}=frac{{{b}^{3}}-8a}{8left| a right|b}Rightarrow 1=frac{-8{{m}^{3}}-8}{-16m}Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+1=0.$ |
Cách 2: $Aleft( 0;m right),Bleft( -sqrt{m};m-{{m}^{2}} right),Cleft( sqrt{m};m-{{m}^{2}} right)Rightarrow R=frac{abc}{4S}=frac{left( {{m}^{4}}+m right).2sqrt{m}}{4.msqrt{m}}=1Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=2m.$
Kết hợp với điều kiện $m>0Rightarrow m=1;m=frac{-1+sqrt{5}}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn C.