Bài tập nguyên hàm cơ bản có Lời giải chi tiết – vi phân
Một số bài tập trắc nghiệm tìm họ nguyên hàm có đáp án chi tiết
|
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm$int{frac{sin x-cos x}{sin x+cos x}}dx.$ A. $frac{1}{sin x+cos x}+C.$ B. $frac{-1}{sin x+cos x}+C.$ C. $ln left| sin x+cos x right|+C.$ D. $-ln left| sin x+cos x right|+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $int{frac{sin x-cos x}{sin x+cos x}}dx=-int{frac{cos x-sin x}{sin x+cos x}}dx=-int{frac{(sin x+cos x{)}’}{sin x+cos x}}dx$
$=-int{frac{dleft( sin x+cos x right)}{sin x+cos x}}=-ln left| sin x+cos x right|+C.$Chọn D.
|
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I=int{frac{x+1}{{{left( {{x}^{2}}+2x right)}^{2}}}dx}.$ A. $-frac{1}{2}ln left| {{x}^{2}}+2x right|+C.$ B. $frac{-1}{2{{x}^{2}}+4x}+C.$ C. $frac{1}{{{x}^{2}}+2x}+C.$ D. $frac{-2}{{{left( {{x}^{2}}+2x right)}^{3}}}+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $int{frac{x+1}{{{left( {{x}^{2}}+2x right)}^{2}}}dx}=frac{1}{2}int{frac{2x+2}{{{left( {{x}^{2}}+2x right)}^{2}}}dx}=frac{1}{2}int{frac{dleft( {{x}^{2}}+2x right)}{{{left( {{x}^{2}}+2x right)}^{2}}}}$
Áp dụng $int{frac{du}{{{u}^{2}}}=frac{-1}{u}+C}Rightarrow I=frac{-1}{2({{x}^{2}}+2x)}+C.$Chọn B.
|
Bài tập 3: Tìm nguyên hàm $I=int{frac{xdx}{sqrt[3]{{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{2}}}}}.$ A.$frac{3}{2}sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$ B. $frac{3}{2}sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}+C.$ C. $frac{2}{3}sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}+C.$ D. $frac{3}{2}sqrt[3]{{{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{2}}}+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $I=int{frac{xdx}{sqrt[3]{{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{2}}}}}=frac{1}{2}int{frac{dleft( {{x}^{2}}+1 right)}{sqrt[3]{{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{2}}}}}=frac{1}{2}int{{{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{frac{-2}{3}}}dleft( {{x}^{2}}+1 right)}$
$=frac{1}{2}.3.{{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{frac{1}{3}}}+C=frac{3}{2}sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}+C.$Chọn B.
|
Bài tập 4: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{1+sin x}{x-cos x}.$ A. $ln left| 2x-2cos x right|.$ B.$ln left| x-cos x right|+1.$ C.$frac{1}{2}ln {{left( x-cos x right)}^{2}}.$ D. $ln {{left( 2x-2operatorname{cosx} right)}^{2}}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $Fleft( x right)=frac{1+sin x}{x-cos x}dx=int{frac{{{left( x-cos x right)}^{prime }}}{x-cos x}dx}=int{frac{dleft( x-cos x right)}{x-cos x}}=ln left| x-cos x right|+C$
Với $C=ln 2$ta được $Fleft( x right)=ln left| 2x-2cos x right|.$
Với $C=1$ ta được $Fleft( x right)=ln left| x-cos x right|+1.$
Với $C=0$ ta được $Fleft( x right)=frac{1}{2}ln {{left( x-cos x right)}^{2}}=ln left| x-cos x right|.$
Đáp án sai là D. Chọn D.
|
Bài tập 5: Giả sử $Fleft( x right)$là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{cos x}{sqrt{4sin x-3}}$. Biết rằng $Fleft( frac{pi }{2} right)=1.$ Tìm $Fleft( x right)$. A.$Fleft( x right)=frac{1}{2}sqrt{4sin x-3}+frac{1}{2}.$ B.$Fleft( x right)=sqrt{4sin x-3}.$ C.$Fleft( x right)=-frac{1}{2}sqrt{4sin x-3}+frac{3}{2}.$ D. $Fleft( x right)=-sqrt{4sin x-3}+2.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $Fleft( x right)=int{frac{cos xdx}{sqrt{4sin x-3}}}=int{frac{dleft( sin x right)}{sqrt{4sin x-3}}=frac{1}{4}int{frac{dleft( 4sin x-3 right)}{sqrt{4sin x-3}}}}$
Áp dụng $int{frac{du}{2sqrt{u}}=sqrt{u}}+CRightarrow Fleft( x right)=frac{1}{2}sqrt{4sin x-3}+C$
Do $Fleft( frac{pi }{2} right)=frac{1}{2}+C=1Rightarrow Fleft( x right)=frac{1}{2}sqrt{4sin x-3}+frac{1}{2}.$Chọn A.
|
Bài tập 6: Giả sử $Fleft( x right)$là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{1}{x{{left( 2+3ln x right)}^{2}}}$. Biết rằng $Fleft( frac{1}{e} right)=1.$ Tìm $Fleft( x right).$ A. $Fleft( x right)=frac{1}{9ln x+6}+frac{4}{3}.$ B.$Fleft( x right)=frac{-1}{9ln x+6}+frac{2}{3}.$ C.$Fleft( x right)=frac{1}{3ln x+2}+2.$ D. $Fleft( x right)=frac{-1}{3ln x+2}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $Fleft( x right)=int{frac{dx}{x{{left( 2+3ln x right)}^{2}}}=}int{frac{dleft( ln x right)}{{{left( 2+3ln x right)}^{2}}}=frac{1}{3}}int{frac{dleft( 3ln x+2 right)}{{{left( 2+3ln x right)}^{2}}}}=frac{-1}{3left( 3ln x+2 right)}+C$
Do $Fleft( frac{1}{e} right)=frac{-1}{-3}+C=1Rightarrow C=frac{2}{3}Rightarrow Fleft( x right)=frac{-1}{9ln x+6}+frac{2}{3}.$Chọn B.
|
Bài tập 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{xsin x+left( x+1 right)cos x}{xsin x+cos x}.$ A.${{x}^{2}}+ln left| xsin x+cos x right|+C.$ B.$x+ln left| xsin x+cos x right|+C.$ C.$x+frac{{{left( xsin x+cos x right)}^{2}}}{2}+C.$ D.$x+left| xsin x+cos x right|.$ |
Lời giải chi tiết:
Nhận xét ${{left( xsin x+cos x right)}^{prime }}=sin x+xcos x-operatorname{sinx}=xcos x$
Ta có: $int{frac{xsin x+left( x+1 right)cos x}{xsin x+cos x}}dx=int{left( 1+frac{xoperatorname{cosx}}{xsin x+cos x} right)dx}=int{dx+int{frac{xcos x}{xsin x+cos x}dx}}$
$x+int{frac{dleft( xsin x+cos x right)}{xsin x+cos x}=x+ln left| xsin x+cos x right|}+C.$Chọn B.
|
Bài tập 8: Cho hàm số $fleft( x right)$luôn dương và thỏa mãn ${f}’left( x right)=left( 2x+1 right).sqrt{fleft( x right)}$với mọi $xin mathbb{R}$. Biết rằng $fleft( 2 right)=16$. Gía trị của $fleft( 1 right)$bằng: A. 2. B.$frac{5}{2}.$ C.4. D. 5. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${f}’left( x right)=left( 2x+1 right).sqrt{fleft( x right)}Leftrightarrow frac{{f}’left( x right)}{sqrt{fleft( x right)}}=2x+1$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $int{frac{{f}’left( x right)}{sqrt{fleft( x right)}}dx}=int{left( 2x+1 right)}dxLeftrightarrow int{frac{d{f}’left( x right)}{sqrt{fleft( x right)}}}={{x}^{2}}+x+C$
$Leftrightarrow 2sqrt{fleft( x right)}={{x}^{2}}+x+C$
Thay $x=2$ta có: $2.sqrt{6}={{2}^{2}}+2+CRightarrow C=2$
Thay $x=1$ta có: $2sqrt{fleft( 1 right)}={{1}^{2}}+1+2Rightarrow fleft( 1 right)=4.$Chọn C.
|
Bài tập 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số $fleft( x right)$ thỏa mãn $fleft( 2 right)=-frac{2}{9}$và ${f}’left( x right)=2x{{left[ fleft( x right) right]}^{2}}$với mọi $xin mathbb{R}$. Giá trị của $fleft( 1 right)$bằng: A.$-frac{35}{36}$. B.$frac{-2}{3}.$ C.$frac{-19}{36}.$ D. $frac{-2}{15}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${f}’left( x right)=2x{{left[ fleft( x right) right]}^{2}}Rightarrow frac{{f}’left( x right)}{{{left[ fleft( x right) right]}^{2}}}=2x$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $int{frac{{f}’left( x right)}{{{left[ fleft( x right) right]}^{2}}}dx=}int{2xdxLeftrightarrow int{frac{dleft[ fleft( x right) right]}{{{left[ fleft( x right) right]}^{2}}}}}={{x}^{2}}+CLeftrightarrow frac{-1}{fleft( x right)}={{x}^{2}}+C.$
Mặt khác $fleft( 2 right)=-frac{2}{9}Rightarrow frac{9}{2}={{2}^{2}}+CLeftrightarrow C=frac{1}{2}Rightarrow frac{-1}{fleft( x right)}={{x}^{2}}+frac{1}{2}$
Thay $x=1$ta được $-frac{1}{fleft( 1 right)}=1+frac{1}{2}=frac{3}{2}Rightarrow fleft( 1 right)=-frac{2}{3}.$Chọn B.
|
Bài tập 10: Cho hàm số $fleft( x right)$luôn dương và thỏa mãn ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}.fleft( x right)$với mọi $xin mathbb{R}$. Biết rằng $fleft( 0 right)=1$. Giá trị của $fleft( 1 right)$bằng: A.$1.$ B.$e.$ C.${{e}^{2}}.$ D. ${{e}^{3}}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}.fleft( x right)Leftrightarrow frac{{f}’left( x right)}{fleft( x right)}=3{{x}^{2}}$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $int{frac{{f}’left( x right)}{fleft( x right)}dx=int{3{{x}^{2}}}dx}Leftrightarrow int{frac{d{f}’left( x right)}{fleft( x right)}}={{x}^{3}}+C$
$Leftrightarrow ln left[ fleft( x right) right]={{x}^{3}}+C$(Do $fleft( x right)>0forall xin mathbb{R})$
Suy ra $fleft( x right)={{e}^{{{x}^{3}}+C}}$. Do $fleft( 0 right)={{e}^{C}}=1Leftrightarrow C=0Rightarrow fleft( 1 right)=e$. Chọn B.
|
Bài tập 11: Cho hàm số $y=fleft( x right)$thỏa mãn $fleft( x right).{f}’left( x right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}$. Biết $fleft( 0 right)=2.$ Tính giá trị ${{f}^{2}}left( 2 right).$ A.${{f}^{2}}left( 2 right)=144.$ B.${{f}^{2}}left( 2 right)=100.$ C.${{f}^{2}}left( 2 right)=64.$ D. ${{f}^{2}}left( 2 right)=81.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $fleft( x right).{f}’left( x right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}Leftrightarrow int{fleft( x right).{f}’left( x right)dx=int{left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}} right)}}dx$
$Leftrightarrow int{fleft( x right)dleft( fleft( x right) right)=frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}}+CLeftrightarrow frac{{{f}^{2}}left( x right)}{2}=frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+CLeftrightarrow {{f}^{2}}left( x right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2C.$
Mà $fleft( 0 right)=2Rightarrow {{f}^{2}}left( 0 right)=4Rightarrow 2C=4Rightarrow {{f}^{2}}left( x right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4.$
Vậy ${{f}^{2}}left( 2 right)={{left. left( {{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4 right) right|}_{x=2}}={{2}^{6}}+{{4.2}^{3}}+4=100$. Chọn B.