BÀI TẬP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP CÓ ĐÁP ÁN
| Bài tập 1: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( 3-x right)left( {{x}^{2}}-1 right)+2x,forall xin mathbb{R}.$ Hỏi hàm số $gleft( x right)=fleft( x right)-{{x}^{2}}-1$ đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. $x=-1.$ B. $x=1.$ C. $x=3.$ D. $x=0.$ |
Lời giải chi tiết
HD: Ta có $g’left( x right)=f’left( x right)-2x=left( 3-x right)left( {{x}^{2}}-1 right);g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=3text{ } \ x=pm 1 \end{matrix} right.$
Lập bảng xét dấu $xrightarrow[{}]{}$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1.$Chọn B.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( x+3 right)left( 9-{{x}^{2}} right)-3{{x}^{2}},forall xin mathbb{R}.$ Hỏi hàm số $gleft( x right)=fleft( x right)+{{x}^{3}}-1$ đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. $x=3.$ B. $x=-3.$ C. $x=0.$ D. $x=-1.$ |
Lời giải chi tiết
HD: Ta có $g’left( x right)=f’left( x right)+3{{x}^{2}}=left( x+3 right)left( 9-{{x}^{2}} right)={{left( x+3 right)}^{2}}left( 3-x right);g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=-3text{ } \ x=3text{ } \end{matrix} right.$
Và $g’left( x right)$ không đổi dấu khi qua điểm $x=-3Rightarrow x=3$là điểm cực đại. Chọn A.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{x}^{2}}-3x,forall xin mathbb{R}$ và $fleft( 0 right)ge 10$. Giá trị cực tiểu của hàm số $gleft( x right)=fleft( x right)+3$ có thể bằng
A. 13. B. 12. C. 16. D. 14. |
Lời giải chi tiết
HD: Ta có $g’left( x right)=f’left( x right)={{x}^{2}}-3x;g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ x=3text{ } \end{matrix} right.$
Suy ra $x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số $Rightarrow gleft( 3 right)
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{x}^{2}}-2x,forall xin mathbb{R}.$ Hỏi hàm số $gleft( x right)=fleft( 1-x right)$ đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. $x=1.$ B. $x=-1.$ C. $x=0.$ D. $x=2.$ |
Lời giải chi tiết
HD: Ta có $g’left( x right)=-f’left( 1-x right)=-left( 1-x right)left( -1-x right)=left( 1-x right)left( x+1 right)$
Phương trình $g’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=1text{ } \ x=-1 \end{matrix} right.xrightarrow{{}}x=1$ là điểm cực đại. Chọn A.
| Bài tập 5: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-3x right)left( 1-x right)$trên $mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số $gleft( x right)=fleft( {{x}^{2}}-x+1 right)$ là
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-3x right)left( 1-x right)$
Khi đó: $g’left( x right)=left[ fleft( {{x}^{2}}-x+1 right) right]begin{matrix} ‘ \ {} \end{matrix}=left( 2x-1 right)f’left( {{x}^{2}}-x+1 right)=left( 2x-1 right)left( {{x}^{2}}-x+1 right)left( {{x}^{2}}-x-2 right)left( x-{{x}^{2}} right)$
$=left( 2x-1 right)left( {{x}^{2}}-x+1 right)left( x+1 right)left( x-2 right)xleft( 1-x right)$
Do 
đổi dấu qua 5 điểm suy ra hàm số 
có 5 điểm cực trị. Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-1 right)left( {{x}^{2}}-4x+3 right)$trên $mathbb{R}$. Số điểm cực đại của hàm số $gleft( x right)=fleft( {{x}^{2}}+2x right)$ là
A. 1. B. 2. C. 4. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f’left( x right)={{left( x-1 right)}^{2}}left( x+1 right)(x-3)$
Khi đó: $g’left( x right)=left( 2x+2 right)f’left( {{x}^{2}}+2x right)=left( 2x+2 right){{left( {{x}^{2}}+2x-1 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}+2x+1 right)left( {{x}^{2}}+2x-3 right)$
$=left( 2x+2 right){{left( {{x}^{2}}+2x-1 right)}^{2}}{{left( x+1 right)}^{2}}left( x-1 right)left( x+3 right).$Ta có bảng xét dấu:
Do $g’left( x right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua 1 điểm nên hàm số $gleft( x right)$ có 1 điểm cực đại. Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-4 right)left( {{x}^{2}}-2x right)$trên $mathbb{R}$. Số điểm cực tiểu của hàm số $gleft( x right)=fleft( {{x}^{2}}+3x right)$ là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-2 right)left( x+2 right)x$
Khi đó: $g’left( x right)=left( 2x+3 right)f’left( {{x}^{2}}+3x right)=left( 2x+3 right){{left( {{x}^{2}}+3x-2 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}+3x+2 right)left( {{x}^{2}}+3x right)$
$=left( 2x+3 right){{left( {{x}^{2}}+3x-2 right)}^{2}}left( x+1 right)left( x+2 right)xleft( x+3 right).$
Do $g’left( x right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua 3 điểm nên hàm số $gleft( x right)$ có 3 điểm cực tiểu. Chọn C.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{2}}-3x+2 right)left( x-1 right)$và $gleft( x right)=-2fleft( 2-x right)+{{x}^{2}}.$ Hàm số đạt cực trị tại điểm x bằng
A. $x=2.$ B. $x=-2.$ C. $x=-3.$ D. $x=3.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $f’left( x right)={{left( x-1 right)}^{2}}left( x-2 right)xrightarrow{{}}f’left( 2-x right)=-x{{left( 1-x right)}^{2}}$
Lại có $g’left( x right)=2fleft( 2-x right)+2x=-2x{{left( 1-x right)}^{2}}+2x=2{{x}^{2}}left( 2-x right).$
Phương trình $g’left( x right)=0Leftrightarrow 2{{x}^{2}}left( 2-x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0 \
x=2 \end{matrix}. right.$
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
Chọn A.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $y=left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)$ có mấy điểm cực trị? A. 9. B. 7. C. 6. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Ta có $y=left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)xrightarrow{{}}y’=frac{2x-1}{2sqrt{{{x}^{2}}+x+2}}.f’left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right).$
Xét $y’=0Leftrightarrow left( 2x+1 right).f’left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=-frac{1}{2}text{ } \ f’left( sqrt{{{x}^{2}}+x+2} right)=0text{ (*)} \end{matrix} right.$
Lại có $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=pm 1 \ x=2text{ } \ x=4text{ } \ {} \end{matrix} right.$ suy ra (*)$Leftrightarrow left[ begin{matrix} sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=pm 1 \ sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=2text{ } \ sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=4text{ } \end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix} {{x}^{2}}+x+1=0 \ {{x}^{2}}+x=2text{ } \ {{x}^{2}}+x=14text{ } \end{matrix} right.$ (có 4 nghiệm).
Suy ra hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn D.
| Bài tập 10: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( 2x-1 right) right|$ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=left| fleft( x right) right|$ thì $y’=frac{f’left( x right).fleft( x right)}{left| fleft( x right) right|}$
Ta có: $y=left| fleft( 2x-1 right) right|Rightarrow y’=frac{left[ fleft( 2x-1 right) right]’.fleft( 2x-1 right)}{left| fleft( 2x-1 right) right|}=frac{2f’left( 2x-1 right).fleft( 2x-1 right)}{left| fleft( 2x-1 right) right|}(*)$
Dựa vào BBT suy ra phương trình $fleft( x right)=0$ có một nghiệm $x=a>2$ nên phương trình
$fleft( 2x-1 right)=0Leftrightarrow 2x-1=a(1)$có 1 nghiệm.
$f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=-3 \ x=2text{ } \end{matrix} right.Rightarrow fleft( 2x-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} 2x-1=-3 \ 2x-1=2text{ } \end{matrix} right.(2)$
Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $y=left| fleft( 2x-1 right) right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn A.
| Bài tập 11: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới:
Số điểm cực trị của hàm số $y=left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|$ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=-2 \ x=3text{ } \end{matrix} right.$
Ta có: $y=left( left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right| right)begin{matrix} ‘ \ {} \end{matrix}=frac{fleft( {{x}^{2}}+2 right)left[ fleft( {{x}^{2}}+2 right) right]’}{left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|}=frac{fleft( {{x}^{2}}+2 right).2x.f’left( {{x}^{2}}+2 right)}{left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|}(*)$
Dựa vào BBT ta có thể giả sử $fleft( x right)=0$ có 1 nghiệm duy nhất là$x=a>3$
Khi đó $fleft( {{x}^{2}}+2 right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2=a(1)$
Mặt khác $2x.f’left( {{x}^{2}}+2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}+2=-2(2) \ {{x}^{2}}+2=3text{ } \end{matrix} right.$
Từ (1) và (2) suy ra (*) có 5 nghiệm phân biệt suy ra hàm số $y=left| fleft( {{x}^{2}}+2 right) right|$ có 5 điểm cực trị.
Chọn C.
| Bài tập 12: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{left( x+1 right)}^{2}}left( {{x}^{2}}-3x right),$với mọi $xin mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số$y=fleft( {{x}^{2}}-4x-m right)$ có 5 điểm cực trị?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có $g’left( x right)=left( 2x-4 right)f’left( {{x}^{2}}-4x-m right)=2left( x-2 right){{left( t+1 right)}^{2}}left( {{t}^{2}}-3t right)$ (với $t={{x}^{2}}-4x-m$)
Số điểm cực trị của hàm số $gleft( x right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $left( x-2 right)left( {{t}^{2}}-3t right)=0$
$Leftrightarrow left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-4x-m right)left( {{x}^{2}}-4x-m-3 right)=0$
Hàm số có 5 điểm cực trị khi các phương trình $uleft( x right)={{x}^{2}}-4m-m=0$ và $vleft( x right)={{x}^{2}}-4m-m-3=0$
Có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 2 $Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta _{u}^{‘}=4+m>0text{ } \ Delta _{u}^{‘}=4+m+3>0 \ uleft( 2 right)=-4-mne 0 \ vleft( 2 right)=-7-mne 0 \end{matrix} right.Leftrightarrow m>-4$
Vậy 3 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
| Bài tập 13: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)={{left( x-2 right)}^{4}}left( {{x}^{3}}-x right),$với mọi $xin mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;0 right]$ để hàm số$y=fleft( {{x}^{2}}+m right)$ có 7 điểm cực trị?
A. 9. B. 7. C. 8. D. 10. |
Lời giải chi tiết
Ta có $g’left( x right)=left[ fleft( {{x}^{2}}+m right) right]’=2x.f’left( {{x}^{2}}+m right)=2x{{left( t-2 right)}^{4}}left( {{t}^{3}}-t right)$ (với $t={{x}^{2}}+m$)
Số điểm cực trị của hàm số $gleft( x right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $x.tleft( {{t}^{2}}-1 right)$
$Leftrightarrow xleft( {{x}^{2}}+m right)left( {{x}^{2}}+m-1 right)left( {{x}^{2}}+m+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=-mtext{ } \ {{x}^{2}}=1-mtext{ } \ {{x}^{2}}=-1-m \end{matrix} right.(*)$
PT (*) có 7 nghiệm phân biệt khi $Leftrightarrow left{ begin{matrix} -m>0text{ } \ 1-m>0text{ } \ -1-m>0 \end{matrix} right.Leftrightarrow m
Vậy có 8 giá trị nguyên âm của $min left[ -10;0 right]$ thỏa mãn. Chọn C.
| Bài tập 14: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục trên khoảng $mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số$gleft( x right)={{left[ fleft( x right)+m right]}^{2}}$ có 5 điểm cực trị là: A. 11. B. 10. C. 9. D. 12. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $g’left( x right)=2.f’left( x right).left[ fleft( x right)+m right]=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} f’left( x right)=0text{ } \ fleft( x right)=-m \end{matrix} right.$
Do hàm số $y=fleft( x right)$ có 3 điểm cực trị nên phương trình $f’left( x right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Để hàm số$gleft( x right)$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $fleft( x right)=-m$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} -2le m
Chú ý:Với $m=-2,m=-3$ thì $f’left( x right)=-m$ có nghiệm kép tại $x=-2.$
Kết hợp với $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ -10;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 right}.$ Chọn B.
| Bài tập 15: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right)=left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} right)left( {{x}^{3}}-2x right),$với mọi $xin mathbb{R}$. Hàm số$y=left| fleft( 1-2018x right) right|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9. B. 2018. C. 2022. D. 11. |
Lời giải chi tiết
Ta có $f’left( x right)=left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} right)left( {{x}^{3}}-2x right)={{x}^{3}}left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-2 right);forall xin mathbb{R}.$
Số điểm cực trị của hàm số $y=gleft( x right)=left| fleft( 1-2018x right) right|$ là tổng số nghiệm của phương trình
$g’left( x right)=0Leftrightarrow 2018.f’left( 1-2018x right)=0xrightarrow{{}}$ có 4 điểm.
Số nghiệm của phương trình $left( 1-2018x right)=0xrightarrow{{}}$ có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm.
Vậy hàm số đã cho có tối đa 9 điểm cực trị. Chọn A.
| Bài tập 16: Hàm số đa thức bậc sáu $y=fleft( x right)$ có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số $gleft( x right)=fleft( 3-sqrt{3}x right)$ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( ax+b right)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y=fleft( x right)$
Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số $y=fleft( x right)$ có 5 điểm cực trị.
Chọn C.
| Bài tập 13: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có bảng xét dấu như hình vẽ.
Gọi m, n lần lượt là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số. Tính ${{m}^{2}}-2n.$ A. 3. B. 6. C.$-1$. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Ta thấy $f’left( x right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=-1 \ x=2text{ } \ x=4text{ } \end{matrix} right.$ và $f’left( x right)$ không xác định tại $x=0.$