Bài tập tính Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ có đáp án
Phương pháp đổi biến số với hàm số chẵn hàm số lẻ
| Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ -a;a right].$ Chứng minh rằng:
a) $intlimits_{-a}^{a}{fleft( x right)dx=2}intlimits_{0}^{a}{fleft( x right)dx}$ nếu $fleft( x right)$ là hàm số chẵn. b) $intlimits_{-a}^{a}{fleft( x right)dx=0}$ nếu $fleft( x right)$ là hàm số lẻ. |
Lời giải chi tiết
- a) Hàm số $fleft( x right)$ là hàm chẵn thì $fleft( -x right)=fleft( x right)$
Ta có: $intlimits_{-a}^{0}{fleft( x right)dx=-}intlimits_{-a}^{0}{fleft( -x right)dleft( -x right)}xrightarrow{t=-x}-intlimits_{a}^{0}{fleft( t right)dt=-}intlimits_{a}^{0}{fleft( x right)dx=}intlimits_{0}^{a}{fleft( x right)dx.}$
Do đó $intlimits_{-a}^{a}{fleft( x right)dx=}intlimits_{-a}^{0}{fleft( x right)dx+intlimits_{0}^{a}{fleft( x right)dx=2}}intlimits_{0}^{a}{fleft( x right)dx.}$
- b) Hàm số $fleft( x right)$ là hàm lẻ thì $fleft( -x right)=-fleft( x right)$
Ta có: $intlimits_{-a}^{a}{fleft( x right)dx=-intlimits_{-a}^{a}{fleft( -x right)dx}=}intlimits_{-a}^{a}{fleft( -x right)dleft( -x right)}xrightarrow{t=-x}intlimits_{a}^{-a}{fleft( t right)dt=-}intlimits_{a}^{a}{fleft( x right)dx}$
Do đó $2intlimits_{-a}^{a}{fleft( x right)dx=}0Leftrightarrow intlimits_{-a}^{a}{fleft( x right)dx}=0.$
Bài tập trắc nghiệm đổi biến số tích phân có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $fleft( x right)+fleft( -x right)=sqrt{2+2cos 2x},forall xin mathbb{R}.$
Tính $I=intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( x right)}dx.$ A. $I=-6.$ B. $I=0.$ C. $I=-2.$ D. $I=6.$ |
Lời giải chi tiết
Lấy tích phân 2 vế của $fleft( x right)+fleft( -x right)=cos 2x$ cận từ $-frac{3pi }{2}to frac{3pi }{2}$ ta có:
$intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( x right)}dx+intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( -x right)}dx=intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{sqrt{2+2cos 2x}}dx=2intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{left| cos x right|dx}=12$ (Sử dụng máy tính Casio).
Đặt $t=xRightarrow dt=-dx$ và đổi cận $left| begin{matrix} x=-frac{3pi }{2}Rightarrow t=frac{3pi }{2} \ x=frac{3pi }{2}Rightarrow t=-frac{3pi }{2} \end{matrix} right..$
Khi đó $intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( -x right)}dx=-intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( t right)}dt=intlimits_{-frac{3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( t right)}dt=intlimits_{-frac{3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( x right)}dx.$
Suy ra $intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( x right)}dx+intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{fleft( -x right)}dx=2I=12Rightarrow I=6.$
Cách 2: Vì $sqrt{2+2cos 2x}=sqrt{2+2cos left( -2x right)}$ta có thể chọn $fleft( x right)=frac{sqrt{2+2cos 2x}}{2}.$
Sau đó sử dụng Casio để bấm $I=intlimits_{frac{-3pi }{2}}^{frac{3pi }{2}}{frac{sqrt{2+2cos 2x}}{2}dx.}$ Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và liên tục trên $mathbb{R}$, thỏa mãn
$fleft( x right)+fleft( -x right)=cos 2x,forall xin mathbb{R}.$ Khi đó $I=intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( x right)}dx$ bằng: A. 2. B. $-2.$ C. $frac{1}{2}.$ D. $frac{sqrt{3}}{4}.$ |
Lời giải chi tiết
Lấy tích phân 2 vế của $fleft( x right)+fleft( -x right)=cos 2x$,$forall xin mathbb{R}$ cận từ $-frac{pi }{6}to frac{pi }{6}$ ta có:
$intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( x right)}dx+intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( -x right)}dx=intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{cos 2x}dx=frac{1}{2}intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{cos 2x}dleft( 2x right)=frac{1}{2}sin 2xleft| begin{matrix} ^{frac{pi }{6}} \ _{frac{-pi }{6}} \end{matrix} right.=frac{sqrt{3}}{2}.$
Đặt $t=-xRightarrow dt=-dxRightarrow left{ begin{matrix} x=-frac{pi }{6},t=frac{pi }{6} \ x=frac{pi }{6},t=-frac{pi }{6} \end{matrix} right.Rightarrow intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( -x right)}dx=-intlimits_{frac{pi }{6}}^{-frac{pi }{6}}{fleft( t right)}dt=intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( t right)}dt=intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( x right)}dx.$
Suy ra $intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( x right)}dx+intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( -x right)}dx=2intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( x right)}dx=frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{fleft( x right)}dx=frac{sqrt{3}}{4}.$ Chọn D.
Cách 2: Vì $cos 2x=cos left( -2x right)$ ta chọn $fleft( x right)=frac{cos 2x}{2}Rightarrow intlimits_{frac{-pi }{6}}^{frac{pi }{6}}{frac{cos 2x}{2}}dx=frac{sqrt{3}}{4}.$
| Bài tập 3: Cho hàm số y= $fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right]$ thỏa mãn $fleft( x right)+2fleft( 1-x right)=3x,forall xin mathbb{R}.$
Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx.$ A. $I=frac{3}{2}.$ B. $I=1.$ C. $I=frac{1}{2}.$ D. $I=2.$ |
Lời giải chi tiết
Cách 1: Ta có$fleft( x right)+2fleft( 1-x right)=3xRightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx+2intlimits_{0}^{1}{fleft( 1-x right)}dx=3intlimits_{0}^{1}{x}dx=frac{3}{2}{{x}^{2}}left| begin{matrix} ^{1} \ _{0} \end{matrix} right.=frac{3}{2}.$
Đặt $t=1-xRightarrow dt=-dxRightarrow left{ begin{matrix} x=0,t=1 \ x=1,t=0 \end{matrix} right.Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( 1-x right)}dx=-intlimits_{1}^{0}{fleft( t right)}dt=intlimits_{0}^{1}{fleft( t right)}dt=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx.$
Suy ra $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx+2intlimits_{0}^{1}{fleft( 1-x right)}dx=3intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx=frac{3}{2}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx=frac{1}{2}Leftrightarrow I=frac{1}{2}.$ Chọn C.
Cách 2: Ta có $fleft( x right)+2fleft( 1-x right)=3xRightarrow fleft( 1-x right)+2fleft( x right)=3left( 1-x right)=3-3x.$
Khi đó $left{ begin{matrix} fleft( x right)+2fleft( 1-x right)=3xtext{ (1) } \ fleft( 1-x right)+2fleft( x right)=3-3xtext{ }left( 2 right) \end{matrix} right.,$ lấy $2.left( 2 right)-left( 1 right),$ ta được
$3fleft( x right)=2left( 3-3x right)-3xLeftrightarrow fleft( x right)=2-3x.$
Vậy $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx=intlimits_{0}^{1}{left( 2-3x right)}dx=left( 2x-frac{3{{x}^{2}}}{2} right)left| begin{matrix} ^{1} \ _{0} \end{matrix} right.=frac{1}{2}.$ Chọn C.
| Bài tập 4: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên$mathbb{R}$ và thỏa mãn $fleft( x right)+fleft( -x right)={{x}^{2}},forall xin mathbb{R}.$
Tính $I=intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)}dx.$ A. $I=frac{2}{3}.$ B. $I=1.$ C. $I=2.$ D. $I=frac{1}{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $fleft( x right)+fleft( -x right)={{x}^{2}}Rightarrow intlimits_{-1}^{1}{left[ fleft( x right)+fleft( -x right) right]}dx=intlimits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}dxLeftrightarrow intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)}dx+}intlimits_{-1}^{1}{fleft( -x right)}dx=intlimits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}}dx.$
Đặt $t=-xRightarrow dt=-dxRightarrow left{ begin{matrix} x=-1,t=1 \ x=1,t=-1 \end{matrix} right.Rightarrow intlimits_{-1}^{1}{fleft( -x right)}dx=-intlimits_{1}^{-1}{fleft( t right)}dt=intlimits_{-1}^{1}{fleft( t right)}dt=intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)}dx.$
Suy ra $intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)}dx+intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)}dx=intlimits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}}dxLeftrightarrow 2intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)}dx=frac{{{x}^{3}}}{3}left| begin{matrix} ^{1} \ _{-1} \end{matrix} right.=frac{2}{3}Rightarrow intlimits_{-1}^{1}{fleft( x right)}dx=frac{1}{3}.$ Chọn D.
| Bài tập 5: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và số thực a dương. Biết rằng với mọi $xin left[ 0;a right]$ thì $fleft( x right)>0$ và $fleft( x right).fleft( a-x right)=1.$ Tính $I=intlimits_{0}^{a}{frac{dx}{1+fleft( x right)}}.$
A. $I=frac{a}{2}.$ B. $I=2a.$ C. $I=a.$ D. $I=-frac{a}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $fleft( x right).fleft( a-x right)=1Leftrightarrow left( 1+fleft( x right) right)fleft( a-x right)=1+fleft( a-x right)Leftrightarrow frac{1}{1+fleft( x right)}=frac{fleft( a-x right)}{1+fleft( a-x right)}$
Lấy tích phân 2 vế ta có: $I=intlimits_{0}^{a}{frac{dx}{1+fleft( x right)}}=intlimits_{0}^{a}{frac{fleft( a-x right)}{1+fleft( a-x right)}}dx$
Đặt $t=a-xRightarrow dt=-dx$ khi đó $intlimits_{0}^{a}{frac{1+fleft( a-x right)}{fleft( a-x right)}}dx=intlimits_{a}^{0}{frac{fleft( t right)}{1+fleft( t right)}}left( -dt right)=intlimits_{0}^{a}{frac{fleft( t right)}{1+fleft( t right)}}dt=intlimits_{0}^{a}{dt}-intlimits_{0}^{a}{frac{dt}{1+fleft( t right)}}$
$=a-intlimits_{0}^{a}{frac{dx}{a+fleft( x right)}}.$ Khi đó $I=a-ILeftrightarrow I=frac{a}{2}.$ Chọn A.
Cách 2: Vì $fleft( x right).fleft( a-x right)=1$ ta có thể chọn $fleft( x right)=1Rightarrow fleft( a-x right)=1Rightarrow I=intlimits_{0}^{a}{frac{dx}{2}}=frac{x}{2}left| begin{matrix} ^{a} \ _{0} \end{matrix} right.=frac{a}{2}.$