Bài toán Tìm điều kiện để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau
Phương pháp giải bài toán tiếp xúc
Cho 2 hàm số $y=fleft( x right)$ và $y=gleft( x right)$. Đồ thị 2 hàm số trên tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi
$left{ begin{array} {} fleft( x right)=gleft( x right) \ {} {f}’left( x right)={g}’left( x right) \ end{array} right.$ và nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ của tiếp điểm.
Bài tập trắc nghiệm tìm điều
|
Bài tập 1: Biết rằng hai đường cong $y={{x}^{3}}+frac{5text{x}}{4}-2$ và $y={{x}^{2}}+x-2$ tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$. Tính OM. A. $OM=frac{1}{2}$ B. $OM=frac{sqrt{29}}{2}$ C. $OM=frac{sqrt{29}}{4}$ D. $OM=frac{sqrt{29}}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình: $left{ begin{array} {} {{x}^{3}}+frac{5text{x}}{4}-2={{x}^{2}}+x-2 \ {} 3{{text{x}}^{2}}+frac{5}{4}=2text{x}+1 \ end{array} right.Leftrightarrow x=frac{1}{2}$
Khi đó $Mleft( frac{1}{2};-frac{5}{4} right)Rightarrow OM=frac{sqrt{29}}{4}$.
|
Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mtext{x}+m+1$ tiếp xúc với trục hoành. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình $left{ begin{array} {} {{x}^{3}}-3mtext{x}+m+1=0 \ {} 3{{text{x}}^{2}}-3m=0 \ end{array} right.$
$left{ begin{array} {} {{x}^{3}}-3mtext{x}+m+1=0left( 1 right) \ {} m={{x}^{2}} \ end{array} right.$ có nghiệm.
Thế $m={{x}^{2}}$ vào phương trình (1) ta có: ${{x}^{3}}-3{{text{x}}^{3}}+{{x}^{2}}+1=0Leftrightarrow x=1Rightarrow m=1$. Chọn A.
|
Bài tập 3: Số các giá trị của tham số m để hai đồ thị $fleft( x right)={{x}^{3}}-3text{x}+1$ và đường thẳng $d:y=mleft( x-1 right)-1$ tiếp xúc với nhau là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình: $left{ begin{array} {} {{x}^{3}}-3text{x}+1=mleft( x-1 right)-1 \ {} 3{{text{x}}^{2}}-3=m \ end{array} right.$ có nghiệm.
Suy ra ${{x}^{3}}-3text{x}+1=left( 3{{text{x}}^{2}}-3 right)left( x-1 right)-1Leftrightarrow 2{{text{x}}^{3}}-3{{text{x}}^{2}}+1=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-frac{1}{2}Rightarrow m=-frac{9}{4} \ {} x=1Rightarrow m=0 \ end{array} right.$. Chọn B.
|
Bài tập 4: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $left( C right):y={{x}^{3}}+m{{text{x}}^{2}}-8text{x}$ tiếp xúc với đường thẳng $y=x+9m$. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 0 B. 3 C. $-3$ D. 4 |
Lời giải chi tiết
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình: $left{ begin{array} {} {{x}^{3}}+m{{text{x}}^{2}}-8text{x}=x+9mleft( 1 right) \ {} 3{{text{x}}^{2}}+2mtext{x}-8-1left( 2 right) \ end{array} right.$ có nghiệm.
Ta có: $left( 1 right)Leftrightarrow {{x}^{3}}+m{{text{x}}^{2}}-9text{x}-9m=0Leftrightarrow {{text{x}}^{2}}left( x+m right)-9left( x+m right)=0Leftrightarrow left( {{x}^{2}}-9 right)left( x+m right)=0$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=pm 3 \ {} x=-m \ end{array} right.$
Với $x=3Rightarrow m=-3$
Với $x=-3Rightarrow m=3$
Với $x=-m$ ta có: $3{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}=9Leftrightarrow m=pm 3$.
Vậy $m=pm 3$ là các giá trị cần tìm. Vậy tổng các phần tử của tập S là 0. Chọn A.
|
Bài tập 5: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=2{{text{x}}^{3}}-3left( m+3 right){{x}^{2}}+18mtext{x}-8$ tiếp xúc với trục hoành. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 9 B. $frac{278}{27}$ C. 8 D. $frac{208}{27}$ |
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình: $left{ begin{array} {} 2{{text{x}}^{3}}-3left( m+3 right){{x}^{2}}+18mtext{x}-8=0 \ {} 6{{text{x}}^{2}}-6left( m+3 right)x+18m=0 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2{{text{x}}^{3}}-3left( m+3 right){{x}^{2}}+18mtext{x}-8=0left( 1 right) \ {} {{x}^{2}}-left( m+3 right)x+3m=0left( 2 right) \ end{array} right.$ có nghiệm.
Ta có: $left( 2 right)Leftrightarrow text{x}left( x-m right)-3left( x-m right)=0Leftrightarrow left( x-3 right)left( x-m right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=m \ end{array} right.$
Với $x=3$ thế vào (1) ta có: $54-27left( m+3 right)+54m-8=0Leftrightarrow m=frac{35}{27}$.
Với $x=m$ thế vào (1) ta có:
$2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}left( m+3 right)+18{{m}^{2}}-8=0Leftrightarrow -{{m}^{3}}+9{{m}^{2}}-8=0Leftrightarrow left( m-1 right)left( {{m}^{2}}-8m-8 right)=0$
Ta được tổng các giá trị của tập hợp S là: $frac{35}{27}+1+8=frac{278}{27}$. Chọn B.
|
Bài tập 6: Tính tổng S tất cả các giá trị tham số m để đồ thị $fleft( x right)={{x}^{3}}-3m{{text{x}}^{2}}+3mtext{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}$ tiếp xúc với trục hoành. A. $S=frac{4}{3}$ B. $S=1$ C. $S=0$ D. $S=frac{2}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Đồ thị đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm:
$left{ begin{array} {} fleft( x right)={{x}^{3}}-3m{{text{x}}^{2}}+3mtext{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \ {} {f}’left( x right)=3{{text{x}}^{2}}-6mtext{x}+3m=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{x}^{3}}-3m{{text{x}}^{2}}+3mtext{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \ {} gleft( x right)={{x}^{2}}-2mtext{x}+m=0left( 1 right) \ end{array} right.$
Lấy $frac{fleft( x right)}{gleft( x right)}$ ta được $fleft( x right)=gleft( x right).left( x-m right)+left( 2m-2{{m}^{2}} right)x+2{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}$
Suy ra $left( 2m-2{{m}^{2}} right)x+2{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0Leftrightarrow left( 2m-2{{m}^{2}} right)left( x+m right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=0 \ {} m=1 \ {} x=-m \ end{array} right.$
Với $x=-mRightarrow left( 1 right)Leftrightarrow {{m}^{2}}+2{{m}^{2}}+m=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=0 \ {} m=-frac{1}{3} \ end{array} right.$
Vậy $m=0,m=1,m=-frac{1}{3}$. Chọn D.