Câu hỏi:
. Bất phương trình ({4^x} – left( {x + 5} right){2^x} + 4left( {x + 1} right) ge 0) có tập nghiệm (S = left[ {a;b} right] cup left[ {c; + infty } right)). Tính tổng (a + b + c).
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 3.
Lời giải
Đặt (t = {2^x}), (t > 0).
Bất phương trình đã cho trở thành:
({t^2} – left( {x + 5} right)t + 4left( {x + 1} right) ge 0)( Leftrightarrow left( {t – 4} right)left( {t – x – 1} right) ge 0)
TH1: (left{ begin{array}{l}t – 4 ge 0\t – x – 1 ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t ge 4\t – x – 1 ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{2^x} ge 4{rm{ }}left( 1 right)\{2^x} – x – 1 ge 0{rm{ }}left( 2 right)end{array} right.)
Xét bất phương trình (left( 2 right)):
Đặt (gleft( x right) = {2^x} – x – 1) trên (mathbb{R}).
(g’left( x right) = {2^x}ln 2 – 1).
Gọi ({x_0}) là nghiệm duy nhất của phương trình (g’left( x right) = 0), ({x_0} > 0)
Khi đó, (gleft( x right) = 0) có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, (gleft( x right) = 0) có hai nghiệm là (x = 0) và (x = 1)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có, (left( 2 right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x le 0\x ge 1end{array} right.)
Ta lại có, (left( 1 right) Leftrightarrow x ge 2).
Kết hợp (left( 1 right)) và (left( 2 right)) suy ra, (x ge 2). (left( * right))
TH2: (left{ begin{array}{l}t – 4 le 0\t – x – 1 le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t le 4\t – x – 1 le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{2^x} le 4{rm{ }}left( 3 right)\{4^x} – x – 1 le 0{rm{ }}left( 4 right)end{array} right.)
Xét bất phương trình (left( 4 right)):
Đặt (gleft( x right) = {2^x} – x – 1) trên (mathbb{R}).
(g’left( x right) = {2^x}ln 2 – 1).
Gọi ({x_0}) là nghiệm duy nhất của phương trình (g’left( x right) = 0), ({x_0} > 0)
Khi đó, (gleft( x right) = 0) có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, (gleft( x right) = 0) có hai nghiệm là (x = 0) và (x = 1)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có, (left( 4 right) Leftrightarrow 0 le x le 1)
Ta lại có, (left( 3 right) Leftrightarrow x le 2).
Kết hợp (left( 3 right)) và (left( 4 right)) suy ra, (0 le x le 1). (left( {**} right))
Kết hợp (left( * right)) và (left( {**} right)) ta được tập nghiệm của BPT đã cho là (S = left[ {0;1} right] cup left[ {2; + infty } right))
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ