CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3 – CÁCH GIẢI MỌI BÀI TẬP
Phương pháp giải bài tập tìm cực trị của hàm số bậc 3
Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dleft( ane 0 right).$
Ta có: $y’=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$ Khi đó:
Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) khi $y’=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}>0.$
Hàm số không có cực trị khi $y’=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}le 0.$
Chú ý:
– Trong trường hợp hệ số $a$ chứa tham số ta cần xét $a=0.$
– Đối với hàm số bậc 3 ta luôn có ${{y}_{CD}}>{{y}_{CT}}$ và:
+) Nếu $a>0$ thì ${{x}_{CD}}
+) Nếu $a{{x}_{CT}}.$
Khi $y’=3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt ta gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$ và $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ là tọa độ hai điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{-2b}{3a} \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{c}{3a}text{ } \end{matrix} right..$
Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y’$ ta được $y=y’.gleft( x right)+hleft( x right).$
Khi đó ${{y}_{1}}=y’left( {{x}_{1}} right).gleft( {{x}_{1}} right)+hleft( {{x}_{1}} right)=hleft( {{x}_{1}} right)$ và ${{y}_{2}}=y’left( {{x}_{2}} right).gleft( {{x}_{2}} right)+hleft( {{x}_{2}} right)=hleft( {{x}_{2}} right)$
Do đó $left{ begin{matrix} {{y}_{1}}=hleft( {{x}_{1}} right) \ {{y}_{2}}=hleft( {{x}_{2}} right) \end{matrix} right..$
Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng $y=hleft( x right).$